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课件网) 多边形 顶点 边 内角 外角 对角线 如图:在同一平面内,由任意两条都不在同一条直线上的若干线段(线段的条数不少于3)首尾顺次相接而成的图形叫做多边形,组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 边数为3的多边形叫做三角形,边数为4的多边形叫做四边形.类似的,边数为5的多边形叫五边形……边数为n的多边形叫做n边形(n为正整数,且) 顶点 边 内角 外角 对角线 多边形相邻的两条边组成的角叫做多边形的内角,多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角.多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点.连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 合作学习 在纸上任意画一个四边形,剪下它的四个角,把他们拼在一起(四个角的顶点重合).你发现了什么 你能把你的发现概括成一个命题吗 你能证明这个命题吗 四边形有如下定理:四边形的内角和等于360°. A B C D 已知:四边形ABCD,求证∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D=360° 证明:如图,连结BD.因为∠A+ ∠ABD+ ∠ADB=180° ∠ C+∠CBD+ ∠CDB=180° 所以∠A+ ∠ABD+ ∠ADB+ ∠ C+∠CBD+ ∠CDB=360° 1 2 3 4 证明四边形内角和为360°,你还有其它的证法吗 例1 如图,四边形风筝的四个内角∠A,∠B.∠C,∠D的度数之比为1:1:0.6:1,求它的四个内角的度数. A B D C 解:因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°(四边形内角和为360°) 又因为∠A,∠B.∠C,∠D的度数之比为1:1:0.6:1 设∠A为x度,则有 x+x+0.6x+x=360 解得 x=100 所以∠A=∠B=∠D=100度,∠C=100×0.6=60度. 随堂小练习 1.在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,∠B=80°,求∠D的度数. 2.已知:在四边形ABCD中,∠A= ∠B, ∠ADC =∠C.求证AB∥CD. 解: ∵ ∠A与∠C互补,∴ ∠A+∠C=180° ∴∠B+∠D=180°,∴∠D=100°. A B C D E 3.如图,在三角形纸片ABC中, ∠A=65°, ∠B=75°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内,若∠1=20°,求∠2的度数. 解: 如图,将三角形向外翻折得到完整的三角形, ∵ ∠A=65°, ∠B=75°, ∴∠C=180°-65°-75°=40°. 由老鹰抓小鸡模型可知,∠1+∠2=2∠C ∴∠2 =60°. A B C 2 1 E 合作学习 边数 图形 从某顶点出发的对角线条数 划分成的三角形个数 多边形的内角和 3 0 1 1×180° 4 1 2 2×180° 5 6 …… n 2 3 n-3 (n-2)×180° 4×180° 3×180° 3 4 n-2 对于n边形,从某一顶点出发的(n-3)条对角线把n边形划分成(n-2)个三角形,所以n边形的内角和就等于这(n-2)个三角形的所有内角之和.于是就有下面的定理: n边形的内角和为(n-2)×180° 由于每一个外角与和它相邻的内角互补,所以n边形的外角和(每一个顶点只取一个外角)为 用一批大小，形状一样的四边形木板，可以拼成大面积的地板吗？ 例2 一个六边形,已知AB∥DE,BC∥EF,CD∥AF,求∠ A+∠C +∠E的值. A F E D C B 分析:因为两条平行线被一条直线所截,有许多等角关系,所以我们不妨连结AD试试看,此时就会发现∠1= ∠3, ∠2= ∠4. 1 3 2 4 解:如图,连结AD,因为AB∥DE,CD∥AF(已知) 所以∠1= ∠3, ∠2= ∠4. 所以∠1+ ∠2=∠3+ ∠4.即∠FAB=∠CDE. 同理∠B= ∠E, ∠C= ∠F. 因为∠FAB+∠CDE+ ∠B+∠E+∠C+ ∠F=(6-2)×180=720°, 所以∠ A+∠C ∠E= 随堂练习 1.在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠B=60°,则∠D的外角的度数是( ) 60° 2.一个四边形的四个内角的度数之比为1:2:3:4,则最小的内角是( ) 36° 3.一个内角和是1620°的多边形可连( )条对角线. 44 解:因为内角和是1620°,所以(n-2)×180=1620.解得n=9,说明这是个11边形,每个顶点可以引(11-3)条对角线,所以11×8÷2=44(条) 思考:为什么要÷2 随堂练习 4.在多边形的内角中,锐角的个数最多有几个 解:由多边形的外角和可以知道,多边形的外角中最多可以有3个钝角,所以说明 ... ...
