2.2.4均值不等式及其应用（课件+学案+练习，共6份）人教B版（2019）必修 第一册

2.2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 ［学习目标］　 1.掌握均值不等式及其推导过程.2.理解均值不等式的几何意义.3.能初步运用均值不等式求最值. 一、对均值不等式的理解 问题1　如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？ 问题2　现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ 问题3　上述不等式是在a2+b2≥2ab(a，b∈R)的基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 问题4　探索均值不等式的几何意义. 知识梳理 算术平均值 给定两个正数a，b，数　　　　称为a，b的算术平均值 几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的几何平均值 均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当　　　　时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，　　　　　　的面积最大 例1　下列命题中正确的是 (　　) A.当a，b∈R时，+≥2 =2 B.若a<0，b<0，则≤ab C.当a>2时，a+的最小值是6 D.当a>0，b>0时，≥ 反思感悟　均值不等式≥(a>0，b>0)的两个注意点 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数. (2)“当且仅当”的含义： ①当a=b时，≥的等号成立， 即a=b =； ②仅当a=b时，≥的等号成立， 即= a=b. 跟踪训练1　(多选)下列结论不正确的是 (　　) A.若x∈R，且x≠0，则+x≥4 B.当x>0时，+≥2 C.当x≥2时，x+的最小值为2 D.当00时，求+4x的最小值； (2)当x<0时，求+4x的最大值； (3)已知t>0，求y=的最小值. 反思感悟　在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备. 跟踪训练2　已知x>0，y>0，且x+y=8，则(1+x)·(1+y)的最大值为 (　　) A.16 B.25 C.9 D.36 角度2　拼凑法求最值 例3　已知x>2，则y=x+的最小值为　　　　. 延伸探究　若把本例中的条件“x>2”改为“x<2”，求y=x+的最大值. 反思感悟　通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略 (1)拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形. (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提. 跟踪训练3　(1)已知0-1，求y=的最小值. 1.知识清单： (1)≥(a，b都是正数). (2)直接法求最值. (3)拼凑法求最值. 2.方法归纳：拼凑法. 3.常见误区：忽视a，b都是正数的条件，忽视等号成立的条件. 1.不等式a2+≥4中，等号成立的条件是 (　　) A.a=4 B.a= C.a=- D.a=± 2.(多选)下列不等式成立的是 (　　) A.ab≤ B.ab≥ C.≥ab(a>0，b>0) D.a+b≤2 3.若x>0，则x+　　　　2，若x<0，则x+　　　　-2.(填“=”“≥”“≤”“>”或“<”) 4.已知x<，则y=4x-2+的最大值为　　　　，此时x的值是　　　. 答案精析 问题1　正方形的边长AB=，故正方形的面积为a2+b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立. 问题2　用，分别替换上式中的a，b可得到a+b≥2，当且仅 ... ...