3.1.2 函数的单调性 第1课时 函数单调性的定义与证明、函数的最值 ［学习目标］ 1.理解函数的单调性的定义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性.2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间.3.理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值. 一、函数单调性的判断与证明 问题1 观察下面三个函数图象，他们有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？ 问题2 如何理解函数图象是上升的？ 知识梳理 增函数与减函数的定义 增函数 减函数 条 件 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，且区间I D： 如果对任意x1，x2∈I，当x1f(x2) 结 论 y=f(x)在区间I上是增函数(也称在区间I上单调递增) y=f(x)在区间I上是减函数(也称在区间I上单调递减) 图 象 例1 证明函数f(x)=x+在(1，+∞)上是增函数. 延伸探究 若本例的函数不变，试判断f(x)在(0，1)上的单调性. 反思感悟 利用定义证明函数单调性的步骤 跟踪训练1 求证：函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数，在(-∞，0)上是增函数. 二、求函数的单调区间 问题3———函数y=f(x)在I上单调递增”与“函数y=f(x)的单调递增区间为I”含义相同吗？ 知识梳理 如果函数y=f(x)在I上单调递增或单调递减，那么就称函数y=f(x)在区间I上具有 (区间I称为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间). 例2 画出函数y=-x2+2|x|+3的图象，并指出函数的单调区间. 反思感悟 求函数单调区间的两种方法 (1)定义法.即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解. (2)图象法.即先画出函数图象，再根据图象的变化规律求单调区间. 跟踪训练2 作出函数f(x)=的图象，并指出函数f(x)的单调区间. 三、函数单调性的应用 问题4 如图所示是函数y=-x2-2x，y=-2x+1(x∈［-1，+∞))，y=f(x)的图象.观察并描述这三个图象的共同特征. 问题5 你是怎样理解函数图象最高点的？ 知识梳理 函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D 都有f(x) f(x0) 都有f(x) f(x0) 结论 f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点 f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点 统称 最大值和最小值统称为 最大值点和最小值点统称为 角度1 利用函数的单调性比较大小 例3 已知函数f(x)在区间(0，+∞)上是增函数，试比较f(a2-a+1)与f的大小. 反思感悟 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. 跟踪训练3 (1)定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有>0，则 ( ) A.f(3)f(2a) B.f(a2)
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