3.1.3 函数的奇偶性 第1课时 函数的奇偶性 ［学习目标］ 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题. 一、函数奇偶性的判断 问题1 观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 问题2 如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … g(x)=2-|x| … -1 0 1 2 1 0 -1 … 问题3 观察函数f(x)=x和g(x)=的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 知识梳理 函数奇偶性的概念及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且 ，则称y=f(x)为偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且 ，则称y=f(x)为奇函数 关于 对称 有关结论 当n是正整数时 函数f(x)=x2n是 函数g(x)=x2n-1是 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x-； (2)f(x)=+ ； (3)f(x)=； (4)f(x)= 反思感悟 判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法 (2)图象法 注意：对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. 跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=； (2)f(x)=； (3)f(x)= 二、奇、偶函数图象的特征及应用 例2 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数y=f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 延伸探究 若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 反思感悟 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称. (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 跟踪训练2 定义在［-3，-1］∪［1，3］上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示. (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象； (2)比较f(1)与f(3)的大小. 三、利用函数奇偶性求参数 例3 (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a-1，2a］，则a= ，b= . (2)若函数f(x)=为奇函数，则a= . 反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为［a，b］，根据定义域关于原点对称，利用a+b=0求参数. (2)解析式含参数：根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数即可求解. 跟踪训练3 (1)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a= . (2)若定义在(-1，1)上的奇函数f(x)=，则常数m= ，n= . 1.知识清单： (1)函数奇偶性的概念. (2)奇函数、偶函数的图象特征. (3)利用函数奇偶性求参数. 2.方法归纳：特值法、数形结合法. 3.常见误区：忽略奇函数、偶函数的定义域关于原点对称. 1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是 ( ) 2.函数f(x)=-x的图象关于 ( ) A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 3. (多选)给定四个函数，其中是奇函数的有 ( ) A.f(x)=x3 B.f(x)=(x>0) C.f(x)=x3+1 D.f(x)= 4.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数，则m的值是 . 答案精析 问题1 这两个函数图象都关于y轴对称. 问题2 可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等. 问题3 可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称. 知识梳理 f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 偶函数 奇函数 例1 解 (1)∵函数f(x)的定义域为｛x| ... ...
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