1.2.3运用乘法公式进行计算和推理 同步练习(含答案)2024-2025学年数学湘教版七年级下册

1.2.3　运用乘法公式进行计算和推理 @基础分点训练 　知识点1　运用乘法公式进行计算 1.计算（x＋3y）2－（x－3y）2的结果是（　A　） A.12xy B.－12xy C.6xy D.－6xy 2.计算（－a＋1）（a＋1）（a2＋1）的结果是（　D　） A.a4－1 B.a4＋1 C.a4＋2a2＋1 D.1－a4 3.计算（x－y＋1）（x＋y－1）的结果是（　D　） A.x2－2xy＋y2－1 B.x2＋y2＋2y－1 C.x2＋y2－1 D.x2－y2＋2y－1 4.已知mn＝2，则（m＋n）2－（m－n）2的值是　8　. 5.计算： （1）（x－2y）2（x＋2y）2＝　x4－8x2y2＋16y4　； （2）（3x＋2）3＝　27x3＋54x2＋36x＋8　. 6.计算： （1）（a＋b＋c）（a－b－c）； 解：原式＝[a＋（b＋c）][a－（b＋c）] ＝a2－（b＋c）2 ＝a2－b2－2bc－c2. （2）（m－n－1）2； 解：原式＝[（m－n）－1]2 ＝（m－n）2－2（m－n）＋1 ＝m2－2mn＋n2－2m＋2n＋1. （3）（xy－3）（x2y2＋9）（xy＋3）. 解：原式＝（xy－3）（xy＋3）（x2y2＋9） ＝（x2y2－9）（x2y2＋9） ＝x4y4－81. 　知识点2　运用乘法公式进行推理 7.对于任意的整数n，能整除代数式（n＋3）（n－3）－（n＋2）（n－2）的整数是（　C　） A.4 B.3 C.5 D.2 8.三个连续自然数的平方和减去2一定（　B　） A.能被2整除 B.能被3整除 C.能被4整除 D.能被5整除 9.老师有[（n＋5）2－（n－1）2]个礼物（其中n≥1，且n为整数）.若将这些礼物平均分给班级的同学，则恰好分完.下列选项中：①4；②12；③n＋2；④6n＋8，可以是班级的同学个数的是　①②③　. 10.已知多项式P＝（x＋2）2＋x（1－x）－9.若x为整数，试说明：多项式P能被5整除. 解：P＝（x＋2）2＋x（1－x）－9 ＝x2＋4x＋4＋x－x2－9 ＝5x－5 ＝5（x－1）. 因为x为整数，所以5（x－1）是5的倍数. 所以多项式P能被5整除. @中档提分训练 11.设（2a＋3b）2＝（2a－3b）2＋A，则A＝（　D　） A.6ab B.12ab C.0 D.24ab 12.已知x与y互为相反数，且（x＋1）2－（y－2）2＝3，则x的值为　－3　. 13.[（3－1）（3＋1）（32＋1）（34＋1）…（332＋1）＋1]÷3的个位数为　7　. 14.发现：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除. 验证： （1）92－62的结果是3的几倍？ （2）设偶数为2n，试说明：比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. 延伸： （3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几呢？请说明理由. 解：（1）因为92－62＝45，45÷3＝15， 所以92－62是3的15倍. （2）由题意，得（2n＋3）2－（2n）2＝4n2＋12n＋9－4n2＝12n＋9＝3（4n＋3）. 因为4n＋3为整数，所以3（4n＋3）能被3整除. （3）余数为3，理由如下： 设这个数为n，根据题意，得 （n＋3）2－n2＝n2＋6n＋9－n2＝6n＋9＝6（n＋1）＋3. 所以6（n＋1）＋3被6整除余3，余数为3. 15.若m≠0，Q＝（m2－m＋1）（m2＋m＋1），P＝（m＋1）2（m－1）2.猜想Q与P的大小关系，并说明理由. 解：Q＞P.理由如下： Q＝（m2－m＋1）（m2＋m＋1） ＝[（m2＋1）－m][（m2＋1）＋m] ＝（m2＋1）2－m2 ＝m4＋m2＋1， P＝（m＋1）2（m－1）2 ＝（m2－1）2 ＝m4－2m2＋1. 因为Q－P＝m4＋m2＋1－（m4－2m2＋1）＝3m2，m2＞0， 所以Q＞P. @拓展素养训练 16.【核心素养·几何直观】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式. 例如：由图1可得到（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab. （1）写出由图2所表示的数学等式：　（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac　； （2）写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：　（a－b－c）2＝a2＋b2＋c2＋2bc－2ab－2ac　； （3）已知a，b，c满足a＋b＋c＝2，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ac的值. 解：由（1）可得，（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ac）， 当a ... ...