第 1 章整式的乘法 专题训练 （学生版+教师版）2024-2025学年数学湘教版七年级下册

专题训练二　完全平方公式的变形运用 ———教材P25第9题变式 [教材母题] （1）已知a－b＝2，ab＝1，求a2＋b2的值； （2）已知a＋＝3，求a2＋和a4＋的值. 解：（1）因为a－b＝2，ab＝1， 所以a2＋b2＝（a－b）2＋2ab＝22＋2＝6. （2）a2＋＝（a＋）2－2＝32－2＝7， a4＋＝（a2＋）2－2＝72－2＝47. [变式1]已知a2＋b2＝25，（a－b）2＝1，求（a＋b）2的值. 解：因为 （a－b）2＝1，所以a2－2ab＋b2＝1. 所以25－2ab＝1.所以2ab＝24. 所以（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝25＋24＝49. [变式2]已知a＋b＝6，ab＝5，求下列代数式的值. （1）a2－3ab＋b2； （2）a4＋b4. 解：（1）a2－3ab＋b2＝（a＋b）2－5ab＝36－5×5＝11. （2）a4＋b4＝（a2＋b2）2－2a2b2， 因为a＋b＝6，ab＝5， 所以a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝62－2×5＝26，a2b2＝（ab）2＝25. 所以a4＋b4＝（a2＋b2）2－2a2b2＝262－2×25＝676－50＝626. [变式3]已知x2－3x＋1＝0，求x2＋的值. 解：由x2－3x＋1＝0，知x≠0， 所以x－3＋＝0，所以x＋＝3. 所以（x＋）2＝9.所以x2＋＋2＝9， 所以x2＋＝7. 利用完全平方公式进行计算时，若已知a2＋b2，ab，a＋b，a－b中的两个，即可求出另外两个式子，常见计算公式如下： （1）a2＋b2＝（a＋b）2－2ab. （2）a2＋b2＝（a－b）2＋2ab. （3）a2＋b2＝[a＋b）2＋（a－b）2]. （4）ab＝[（a＋b）2－（a－b）2]. 【拓展训练】 1.图1是一个长为4b，宽为a的长方形（a＞b），沿图中虚线用剪刀将其平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图2所示. （1）观察图2，请你写出（a＋b）2，（a－b）2，ab之间的等量关系：　（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab　； （2）根据（1）中的结论，若a＋b＝4，ab＝3，则（a－b）2＝　4　； （3）如图3，正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CG＝5，长方形EFGD的面积是20，四边形NDGH和四边形MEDQ都是正方形，求图中阴影部分的面积. 解：因为正方形ABCD的边长为x，AE＝3，CG＝5， 所以DE＝x－3，DG＝x－5. 因为长方形EFGD的面积为20， 所以（x－3）（x－5）＝20. 令x－3＝m，x－5＝n，则mn＝20. 又四边形NDGH和四边形MEDQ都是正方形， 所以阴影部分的面积＝（m＋n）（m＋n）＝（m＋n）2. 因为mn＝20，m－n＝x－3－（x－5）＝2， 所以由（1）中等式可知，阴影部分的面积＝（m＋n）2＝（m－n）2＋4mn＝22＋4×20＝84， 所以阴影部分的面积为84. 专题训练三　乘法公式的几何意义 1.在边长a的正方形中剪去一个边长b的小正方形（a＞b），把剩下的部分制成一个梯形，请回答下列问题： （1）这个拼图验证了一个乘法公式是　（a＋b）（a－b）＝a2－b2　. （2）请应用这个公式解答下列各题： ①已知4m2－n2＝12，2m＋n＝4，则2m－n＝　3　； ②计算：20252－2023×2027. 解：原式＝20252－（2025－2）（2025＋2） ＝20252－20252＋4 ＝4. 2.数学老师在集体备课中，发现利用“面积法”说明整式的乘法有助于学生的理解，为此老师们用硬纸卡制作了如下的学具（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C）. （1）在一节课的探究中，小高老师利用1张A和1张C拼出如图1所示的长方形，利用“面积法”可以得出的整式乘法关系式为　a（a＋b）＝a2＋ab　； （2）在随后的探究中，小高老师在上课时则给同学们发了很多硬纸片（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C），并要求同学们用2张A，1张B和3张C拼成一个长方形，请你画出对应的示意图，并将利用面积法得出的整式乘法关系式补充完整； （　a＋b　）（　2a＋b　）＝2a2＋3ab＋b2 解：（2）根据题意拼接如图所示. （3）小朱老师在设计本单元的阶梯作业时，给出如图2所示的图形，请结合图形，在横线上添加适当的式子，使等式成立：　（a－b）2　＋　（ ... ...