2.1.1 等式的性质与方程的解集（课件+学案+练习，共3份）人教B版（2019）必修 第一册

2.1.1　等式的性质与方程的解集 课标要求　1.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用“十字相乘法”分解二次三项式. 2.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求一些方程的解集. 【引入】 数量关系是数学中重要的研究对象，相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系，等式与不等式是表示数量关系的基本工具.而且，等式与不等式的有关知识，在日常生活中有着广泛的应用.等式具有什么性质呢？ 一、等式的性质、恒等式 探究1 判断下列命题是否正确. (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc； (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. _____ _____ _____ _____【知识梳理】 1.等式的性质 (1)如果a＝b，则对任意c，都有a±c＝b±c. (2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有_____. 2.常见的代数恒等式 ①(a＋b)2＝_____， (a－b)2＝a2－2ab＋b2. ②a2－b2＝_____. ③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)， a3－b3＝_____. ④(x＋a)(x＋b)＝_____， (ax＋b)(cx＋d)＝_____. 例1 (链接教材P46例1)(1)下列变形一定正确的是(　　) A.若ax＝bx，则a＝b B.若(a＋1)x＝a＋1，则x＝1 C.若x＝y，则x－5＝5－y D.若x＝y，则＝ (2)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是(　　) A.－2m2 B.0 C.－2 D.－1 思维升华　化简的一般步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”： (1)先看是否能提取公因式； (2)再看能否套用公式； (3)再检查因式分解是否彻底； (4)最后用多项式乘法检验分解是否正确. 训练1 (1)已知等式mx＝my，则下列变形正确的是(　　) A.＝ B.mx＋2＝my＋2 C.x＝y D.＝ (2)计算(x＋3y)2－(3x＋y)2＝_____. 二、十字相乘法分解因式 探究2 我们知道对任意的x，a，b，都有(x＋a)·(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.那么对于二次三项式x2＋x－2如何分解因式呢？ _____ _____ _____ _____【知识梳理】 给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝_____且C＝_____，则x2＋Cx＋D＝_____.为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：11ab，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于_____，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 温馨提示　把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数. 例2 将下列多项式分解因式： (1)x2－x－6；(2)2x2－3x＋1； (3)－x2＋(a－2)x＋2a； (4)x2＋29xy＋100y2. _____ _____ _____ _____思维升华　(1)x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)需满足C＝a＋b，D＝ab； (2)Ex2＋Fx＋G＝(ax＋b)(cx＋d)需满足E＝ac，F＝ad＋bc，G＝bd. 训练2 利用十字相乘法分解因式： (1)x2＋7x＋6； (2)(a－b)2＋11(a－b)＋28； (3)2x2－xy－3y2； (4)x4y4－3x2y2－4. _____ _____ _____ _____三、方程的解集 【知识梳理】 1.方程的解(或根) 是指能使方程左右两边相等的_____的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的_____. 2.方程(x－x1)(x－x2)＝0，当x1≠x2时解集为_____，当x1＝x2时解集为_____. 温馨提示　(1)把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根. (2)求一元二次方程的解集时，一般先把二次项的系数化为正的，右边是0的形式，然后利用公式法、十字相乘法将方程的左边分解为因式相乘的形式，求得解集. 例3 (链接教材P48例2、例3)(1)求下列方程的解集： ①－＝； ②4x2－3x－1＝0. (2)求关于x的方程ax＝1的解集. _____ _____ _____ _____思维升华　1.对于形如ax＝b的方程要注意讨论a是否为零. 2.“十字相乘法”也是解一元二次方程的一种常见方法. 训练3 (1)求方程10(x＋1)2－29(x＋1)＋10＝0的解集. (2)求关于x的方程3x2 ... ...