2.2.4均值不等式及其应用（课件+学案+练习，共6份）人教B版（2019）必修 第一册

2.2.4　均值不等式及其应用 第一课时　均值不等式 课标要求　1.掌握均值不等式及其推导过程. 2.理解均值不等式的几何意义. 3.能初步运用均值不等式证明不等式. 【引入】 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么a并非物体的实际质量.不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b.那么如何合理地表示物体的质量呢？ 一、对均值不等式的理解 探究1 在上述实例中，如果把两次秤得物体的质量“平均”一下，以A＝表示物体的质量，你觉得合理吗？物体的实际质量是多少呢？ _____ _____ _____ _____ 探究2 对于任意的两个正数a，b，你能比较与的大小吗？ _____ _____ _____ _____ 探究3 在探究2中可以得到，若a，b∈R＋，则≥，如果两边平方可以得到≥ab，若把矩形的长和宽分别记为a和b，那么你能得到什么结论呢？ _____ _____ _____ _____ 探究4 当a>0，b>0时，我们可以尝试作出长度为和的两条线段，再比较这两条线段的长.如图. AB是⊙O的直径，AC＝a，CB＝b，过C作CD⊥AB交⊙O的半圆于D，算出OD和CD.你能给出不等式≥的几何意义吗？ _____ _____ _____ _____ 【知识梳理】 算术平均值 给定两个正数a，b，数_____称为a，b的算术平均值 几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的几何平均值 均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当_____时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，_____的面积最大 温馨提示　(1)均值不等式常见的变形：①若a>0，b>0，则a＋b≥2；②若a>0，b>0，则ab≤. (2)均值不等式的实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 例1 (多选)下列结论不正确的是(　　) A.若x∈R，且x≠0，则＋x≥4 B.当x>0时，＋≥2 C.当x≥2时，x＋的最小值为2 D.当00，b>0)的两个注意点 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数. (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b ≥； ②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝ a＝b. 训练1 (多选)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是(　　) A.ab≤ B.ab≤ C.≥ D.≤ 二、利用均值不等式求最值 角度1　直接法求最值 例2 (链接教材P77例1)(1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x<0时，求＋4x的最大值； (3)设x>0，y>0且2x＋5y＝20，求xy的最大值. _____ _____ _____ _____ 思维升华　在利用均值不等式求最值时要注意三点： 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备. 训练2 (1)若x<0，则函数y＝有(　　) A.最小值2＋2 B.最大值2－2 C.最小值2－2 D.最大值2＋2 (2)(多选)下列结论正确的是(　　) A.当x≥0时，x＋1＋≥2 B.当x>0时，≥2 C.x＋的最小值为2 D.＋的最小值为2 角度2　拼凑法求最值 例3 (1)函数y＝x＋(x>2)的最小值为(　　) A.2 B.4 C.3 D.0 (2)若00，则＋≥，当且仅当＝时等号成立.根据权方和不等式，函数f(x)＝＋的最小值为(　　) A.11 B.25 C.121 D.169 (2)已知x>－1，则y＝的最小值为_____. 三、利用均值不等式证明不等式 例4 (链接教材P ... ...