5.8 正多边形和圆（学案，含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第五章 圆 8 正多边形和圆 列清单·划重点 知识点1 圆的内接正n边形 把⊙O分成n等份，顺次连接这 n个等分点，便得到了一个⊙O的内接 . 知识点2 正多边形的有关概念 1.正多边形的中心：一个正 n边形一共有n条对称轴，正多边形的对称轴相交于一点，这个点到正多边形各边的距离都相等，到正多边形各顶点的距离也都相等，这个点叫做 . 2.正多边形的外接圆：以正多边形的中心为圆心，以中心到一个顶点的距离为半径作圆，便得到这个正多边形的 .正多边形的外接圆的 叫做正多边形的半径. 3.正多边形的内切圆：以正多边形的中心为圆心，以中心到一条边的距离为半径作圆，便得到这个正多边形的 .正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的 . 4.正多边形的中心角：正多边形每一条边所对外接圆的圆心角叫做正多边形的 . 知识点3 与正多边形有关的计算 计算正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面积之间的关系的问题时，通常归结为解三角形的问题. 如图所示，设正 n边形的半径为R，边心距为r，边长为a，半中心角为θ，周长为p，面积为S，则 (1)正n边形的中心角与它的每个外角相等，都等于 知识点4 用尺规作正多边形 1.正四边形、正八边形的作法 如图所示，在⊙O中，用直尺和圆规作两条 ，顺次连接这两条直径的四个端点，便得到一个正四边形. 如果再逐次平分各边所对的劣弧，那么就可以作出正八边形.如图所示. 2.正六边形、正三角形的作法 如图所示，先作⊙O的任意一条直径 AB，再分别以A，B为圆心，以 为半径作弧，与⊙O相交于点 C，D和E，F，则A,C,E,B,F,D是⊙O的六等分点,然后顺次连 接 各 等 点，即得 到 正 六 边 形ACEBFD,顺次连接B,C,D,即得到正三角形BCD. 明考点·识方法 考点1 正多边形的作图 典例1 用直尺和圆规作一个正八边形. 思路导析 作两条互相垂直的直径，将圆分成四条相等的弧，再将每条弧分别二等分，顺次连接八个等分点，所得到的八边形就是正八边形. 变式 画一个半径为2cm 的正六边形. 考点2 利用正多边形的性质求角的度数 典例2 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P 在 上，点Q 是 的中点，则∠CPQ 的度数为 . 思路导析 根据圆内接正六边形中心角的计算方法求出∠COD=∠DOE=60°,再根据圆周角定理求出∠COQ的度数，再由圆周角定理进行计算即可. 变式 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中 3 个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是( ) A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 考点3 利用正多边形的性质求线段长 典例3 如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF 的 边 心 距OG 为 ( ) B. D.3 思路导析 连接OC，OD，由圆的周长可求出OC长,由正六边形 ABCDEF 可求出∠COD=60°,进而可求出∠COG=30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OG的长. 规律总结 圆内接正三角形的边长是它的半径的 倍，圆内接正方形的边长是它的半径的 倍，圆内接正六边形的边长等于它的半径. 变式 如图，等边三角形ABC和正方形DEFG 均内接于⊙O,若 EF=2,则 BC的长为 ( ) B.2 C. D. 考点4 利用正多边形的性质求面积 典例4 如图,⊙O的周长为 8π,正六边形 ABCDEF 内接于⊙O.则△OAB 的面积为( ) A.4 C.6 思路导析 根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可. 变式 剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形A B C D E F G H 的面积为 S .图中阴影部分面积 S ，则的值为 ( ) 当堂测·夯基础 1.如图，画出了⊙O的内接正四边形和内接正五边形，且点 A在B,C之间,则 ∠ABC= ( ) A.6° B.9° C.12° D.18° 第1题图 第2题图 2.如图，电子屏幕上有边长为1 的正六边形 ABCDEF，红色光点和蓝色光点会按 ... ...