中小学教育资源及组卷应用平台 专题8 圆中圆周角和圆心角计算问题 导学案 一、学习目标： 1.圆心角、圆周角； 2.垂径定理. 二、学习重、难点： 重难点： 与圆有关的计算 三、学习过程： （一）复习旧知，引入新课 【提问】1、什么是垂径定理？ 2、知识点1 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 3、知识点2 圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= ） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径。 （二）探究新知 题型1利用垂径定理求值 例题：如图，是的直径，弦于点，，，则 ． 【变式训练】 1．如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为 ． 练一练：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心（在水面上方）为圆心的圆，且圆被水面截得的弦长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（ ） 题型2 圆中的有关计算 【例】（1）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是 （2）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于 （用α表示） 1．如图，是的直径，C是的中点，若等于，则的度数为 ． 练一练．如图，点A，B，C都在上，B是的中点，，则等于 ． 例题：如图，的直径是，，圆的半径是4，则弦的长是（ ）． A． B． C． D． 【变式】如图，在中，为的直径，已知，，，，则 ． 练习：如图，为的直径，内接于，，交于点E． (1)求的度数； (2)若点E为中点，，求的长． 四、课堂小结 【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。 五、总结反思,拓展升华（优秀的人往往都在默默地努力）中小学教育资源及组卷应用平台 专题8 圆中圆周角和圆心角计算问题 教学设计 一、教学目标： 1.圆心角、圆周角； 2.垂径定理. 二、教学重、难点： 重难点： 与圆有关的计算 三、教学过程： （一）复习旧知，引入新课 【提问】1、什么是垂径定理？ 2、知识点1 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 3、知识点2 圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= ） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径。 （二）探究新知 题型1利用垂径定理求值 例题：如图，是的直径，弦于点，，，则 ． 【答案】2 【分析】根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即， 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提． 【变式训练】 1．如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】由题意易得，根据勾股定理可求的长，然后问题可求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴, 【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解 ... ...
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