2.3.1抛物线及其标准方程--2024-2025学年高中数学北师大版选修一课时优化训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 抛物线及其标准方程--2024-2025学年高中数学北师大版选修一课时优化训练 一、选择题 1．抛物线的准线方程是( ) A. B. C. D. 2．若抛物线上一点到其焦点的距离为9,则该抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 3．世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用.目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置.如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为( ) A.0.25 B.0.5 C.1 D.2 4．抛物线的准线方程是( ) A. B. C. D. 5．抛物线的准线方程为( ) A. B. C. D. 6．设抛物线的焦点为F，过点的一条直线交C于A，B两点.若，则( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7．已知抛物线经过点,则C的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 8．若F是抛物线的焦点，P是抛物线C上任意一点，的最小值为，且A，B是抛物线C上两点，，则线段的中点到y轴的距离为( ) A.3 B.2 C. D. 二、多项选择题 9．已知抛物线C的焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为( ) A. B. C. D. 10．已知抛物线的焦点为F,抛物线上的点到点F的距离为4,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,以线段为直径的圆交y轴于M,N两点,设线段的中点为P,则( ) A. B.的取值范围为 C.若,则直线l的斜率为 D.有最大值 11．已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则( ) A.若A的纵坐标为2，则 B.若直线过点F，则的最小值为4 C.若，则直线恒过定点 D.若垂直C的准线于点，且，则四边形的周长为 三、填空题 12．抛物线的焦点坐标为_____． 13．已知F是抛物线的焦点,A、B是该抛物线上的两点,,则线段AB的中点到y轴的距离为_____. 14．抛物线的准线方程为_____. 四、解答题 15．已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为. (1)求抛物线C的方程及点M的坐标； (2)已知直线与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点.求证：. 16．已知抛物线（）的焦点为F，点为抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同两点P，Q，若，求m的值. 17．若抛物线上的点到其焦点F的距离为3，则_____. 18．已知抛物线的焦点为F,点M为抛物线C上一点,且线段FM的中点为,该抛物线的焦点到准线的距离不大于3. （1）求抛物线C的方程; （2）设点A,B为抛物线上的动点,若,当AB的中点到抛物线的准线距离最短时,求AB所在直线方程. 19．已知抛物线，过抛物线上点且斜率为k的直线l与拋物线C仅有一个交点. （1）求抛物线C的方程； （2）求k的值. 参考答案 1．答案：C 解析：将抛物线方程转化为， 则抛物线的准线方程为. 故选：C. 2．答案：B 解析：抛物线的准线方程为, 所以点P到焦点的距离为, 所以,抛物线的方程为. 故选：B. 3．答案：A 解析：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由图可得点在抛物线上， 即，解得， 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为0.25. 故选：A. 4．答案：D 解析：抛物线的准线方程是， 抛物线的准线方程是， 故选：D. 5．答案：C 解析：由，可得， 所以准线方程为， 故选：C 6．答案：C 解析：直线的斜率存在， 设其方程为，， 由 消去y得， 则，， 抛物线的准线方程为， 由，得，解得， 因此，所以. 故选：C 7．答案：B 解析：依题意,,解得, 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B. 8．答案：B 解析：根据抛物线性质可知：的最小值为， 所以由题意可得：， 如图，取中点E，分别过点A、B、E 作，，于点D、C、G，与y轴交于点H， 根据抛物线的定义可得：，， ， 因为为梯形的中位线， 所以， 所以 ... ...