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课件网) 7.1.2 复数的几何意义 「学习目标」 通过对复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用、共轭复数的概念的理解,发展数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 知识梳理 自主探究 「知识探究」 1.复平面 (1)定义:建立了 来表示复数的平面叫做复平面. (2)实轴:在复平面内, 叫做实轴,实轴上的点都表示 . (3)虚轴:在复平面内, 叫做虚轴,除了 外,虚轴上的点都表示 . (4)原点:原点(0,0)表示 . 直角坐标系 x轴 实数 y轴 原点 纯虚数 实数0 2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi一一对应复平面内的点 . Z(a,b) (2)复数z=a+bi一一对应平面向量 . 3.复数的模 4.共轭复数 (1)定义:一般地,当两个复数的实部 ,虚部 时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 相等 互为相反数 (2)表示:复数z的共轭复数表示为 ,即若z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi. (3)性质: ①两个共轭复数的对应点关于 对称. 实轴 它本身 师生互动 合作探究 探究点一 复数与复平面内点的关系 [例1] (1)设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:(1)复数z=-3+2i对应的点为(-3,2),在第二象限.故选B. √ (2)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( ) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(-∞,-3)∪(1,+∞) D.(-∞,-3) √ 方法总结 利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的依据. (2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. [针对训练] 已知复数z=(m2-7m+10)+(m2-5m+6)i,i为虚数单位, m∈R. (1)若z为纯虚数,求m的值; (2)若在复平面上表示复数z的点位于第二象限,求m的取值范围; (3)若在复平面上表示复数z的点位于直线2x-y-14=0上,求m的值. 解:(3)复数z的点位于直线2x-y-14=0上, 则2(m2-7m+10)-(m2-5m+6)-14=0, 解得m=0或9. 探究点二 复数与复平面内向量的关系 A.-2-i B.2+i C.1+2i D.-1+2i √ 方法总结 (1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点为原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. A.1+i,1+i B.2+i,2+i C.1+i,2+i D.2+i,1+i √ (2)复平面上,以原点为起点,平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是( ) A.正数 B.负数 C.实部不为零的虚数 D.纯虚数 √ 探究点三 复数的模及其几何意义 (1)求|z1|与|z2|的值,并比较它们的大小; (2)设复平面内,复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|,复数z对应的点Z的集合是什么 解:(2)|z2|≤|z|≤|z1|, 由(1)知1≤|z|≤2. 因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1上的点和该圆外部所有点的集合,不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2上的点和该圆内部所有点的集合,所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环(包括边界),如图所示. 方法总结 (1)两个复数不全为实数时不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小. (2)复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解. (3)|z|=r表示以原点为圆心,以r为半径的圆. [针对训练] (1)求复数z=x+(2x+1)i(x∈R)的模的最小值; (2)复数z=a+bi(a,b∈R),若|z|≥1,0
