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课件网) 第七章 复 数 7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和 复数的概念 「学习目标」 通过复数的基本概念及复数相等的有关知识的学习,发展数学抽象及数学运算的核心素养. 知识梳理 自主探究 「知识探究」 1.复数的有关概念 (1)复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做 ,其中i叫做虚数单位,且i2=-1. (2)复数集:全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集. (3)复数的表示:z= ,其中 叫做复数z的实部, 叫做复数z的虚部. 复数 a+bi(a,b∈R) a b 2.数系的扩充 3.复数相等 若a,b,c,d∈R,则复数a+bi与c+di相等的充要条件是 且 . a=c b=d 4.复数的分类 (1)对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,它是 ;当且仅当 时,它是实数0;当b≠0时,它叫做 ;当a=0且b≠0时,它叫做 . 这样,复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下: 实数 a=b=0 虚数 纯虚数 (2)集合表示: 师生互动 合作探究 探究点一 复数的有关概念 [例1] 有下列命题: ①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数; ②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i; ③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2; ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的命题是( ) A.① B.② C.③ D.④ √ 解析:对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠0时,为纯虚数. 对于①,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,即①错误; 两个虚数不能比较大小,则②错误; 对于③,若x=-2,则x2-4=0,x2+3x+2=0, 此时(x2-4)+(x2+3x+2)i=0不是纯虚数,则③错误; 显然,④正确.故选D. 方法总结 (1)若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分. [针对训练] 下列四种说法正确的是( ) A.如果实数a=b,那么a-b+(a+b)i是纯虚数 B.实数是复数 C.如果a=0,那么z=a+bi是纯虚数 D.任何数的偶数次幂都不小于零 √ 解析:若a=b=0,那么a-b+(a+b)i=0∈R,所以A错误;由复数的概念,可得实数是复数,所以B正确;若a=0且b=0时,复数z=a+bi=0∈R,所以C不正确;由虚数单位i2=-1,可得D错误.故选B. 探究点二 复数的分类 [例2] 当m为何实数时,复数z=m2+m-2+(m2-1)i且m∈R是下列数 (1)实数; 解:(1)当m2-1=0,即m=±1时,复数z为实数. (2)虚数; 解:(2)当m2-1≠0,即m≠±1时,复数z为虚数. (3)纯虚数; (4)零. 方法总结 判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 探究点三 复数相等 [例3] 根据下列条件,分别求实数x,y的值. (1)x2-y2+2xyi=2i; (2)(2x-1)+i=y-(3-y)i. 方法总结 解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解. [针对训练] (1)已知a,b∈R,a+3i=bi-1(i为虚数单位),则( ) A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3 解析:(1)a+3i=bi-1=-1+bi,而a,b为实数,故a=-1,b=3.故选B. √ (2)若xi-2i2=y+2yi,x,y∈R,则复数x+yi等于( ) A.-2+i B.4+2i C.1-2i D.1+2i √ 「当堂检测」 1.已知复数z=(2+x)+(1-x)i是纯虚数,则实数x的值为( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 √ 2.已知a,b∈R,若a2-b+(a-b)i>2(i为虚数单位),则a的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-1,2) D.(-2,1) √ 3.设a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等,其中a为实数,则a= . -3 解析:由题意知a-2=2a+1, 解得a=-3. 4.已知复数xi2+i=2-yi,x,y∈R,则x-y= . -1 谢 谢 观 看 ... ...
