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课件网) 10.2 事件的相互独立性 「学习目标」 1.结合具体实例学习事件的独立性的概念,培养数学抽象的核心素养. 2.通过利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题,提升数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素养. 知识梳理 自主探究 「知识探究」 相互独立事件 对任意两个事件A与B,如果 成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. P(AB)=P(A)P(B) (2)与相互独立事件A,B有关的概率的计算公式如表: 师生互动 合作探究 探究点一 事件独立性的判断 [例1] 有3个相同的球,分别标有数字1,2,3,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.用(x,y)表示样本点,其中x表示第一次取出球的数字,y表示第二次取出球的数字.设事件A=“第一次取出的球的数字是1”,事件B=“两次取出的球的数字之和是4”. (1)写出这个试验的样本空间; 解:(1)依题意,试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1), (2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}. (2)判断事件A和事件B是否相互独立,并说明理由. 方法总结 事件的独立性的判断 (1)定义法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)·P(B). (2)由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响. [针对训练] 有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”,则( ) A.甲与乙相互独立 B.乙与丙相互独立 C.甲与丙相互独立 D.乙与丁相互独立 √ 探究点二 求独立事件的概率 (1)求该局打4个球甲赢的概率; (2)求该局打5个球结束的概率. 方法总结 求相互独立事件的概率的步骤 第一步,先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和; 第二步,求出这些彼此互斥事件的概率; 第三步,根据互斥事件的概率计算公式求出结果. 此外,当题目中涉及“至少”“至多”问题时,也可以从对立事件入手计算概率. [针对训练] 两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6,两人各投一次,假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立 的.求 (1)甲和乙都命中的概率; 解:(1)设“甲命中”为事件A,概率为P1=0.7,“乙罚球时命中”为事件B,概率为P2=0.6, 则设“甲和乙都命中”为事件C, 则P(C)=P1·P2=0.42. (2)甲和乙都不命中的概率; 解:(2)设“甲和乙都不命中”为事件E, 则P(E)=(1-P1)·(1-P2)=0.3×0.4=0.12. (3)甲和乙至少一人命中的概率. 解:(3)设“甲和乙至少一人命中”为事件F, P(F)=1-0.12=0.88. 探究点三 相互独立事件与互斥事件的综合应用 (1)重复发送信号1三次,计算至少收到两次1的概率; (2)依次发送1,1, 0, 判断以下两个事件:①事件A:至少收到一个正确信号; ②事件B:至少收到两个0,是否相互独立,并给出证明. 方法总结 求较为复杂事件的概率的方法 (1)列出题中涉及的各事件,并且用适当的符号表示. (2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立,或者是相互独 立),列出关系式. (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率. (1)求乙投球1次的命中率; (2)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中3次的概率. 「当堂检测」 1.甲、乙两个气象台同时做天气预报,如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7,且预报准确与否相互独立,那么在一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是( ) A.0.06 B.0.38 C.0.56 D.0.94 √ 解析:由题可得一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是0.8×(1-0.7)+(1-0.8)×0.7=0.38.故选B. 2.若古典概型的 ... ...
