24.1.2垂直于弦的直径知识梳理与同步练习人教版2024—2025学年九年级上册（无答案）

24.1.2垂直于弦的直径知识梳理与同步练习人教版2024—2025学年九年级上册 一、知识梳理 （一）垂径定理及其推论 问题：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB, 垂足为E. 图中相等的线段和劣弧有哪些 为什么 归纳总结： 垂径定理： . 数学语言： . 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 归纳总结： 垂径定理的几个基本图形： 思考探索： （1）如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ （2） 以下五个条件中：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？任选一种组合证明你的猜想. 证明举例： 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2）弧AC与弧BC相等吗？ 弧AD与弧BD相等吗？为什么？ 归纳总结： 垂径定理的推论： . 数学语言： . 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 二、典例精析 （二）垂径定理及其推论的计算 例1：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，OE＝3，那么线段CD的长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 例2：如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1．求⊙O的半径． 例3：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8． （1）求CE的长度； （2）求OC的长度． 变式1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．4 B． C．5 D． 变式2：如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（　　） B． C．3 D．5 例4：如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC． （1）求证：AC＝CG； （2）若CD＝EG＝8，求弦DB的长度． 变式1：如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC． （1）求∠B的度数； （2）若，求⊙O的半径． （三）、垂径定理的实际应用 例5：唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子半径为（　　） A．2m B．3m C．4m D．5m 例6：如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝24m，拱高CD＝8m，则拱桥的半径为（　　） A．9m B．10m C．12m D．13m 例7：把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的直径长是（　　） A．15cm B．16cm C．18cm D．20cm 例8：如图、，一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为 cm. 变式1：已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 cm. 变式2：⊙O的直径AB=20cm，∠BAC=30°，则弦AC= cm. . 变式3：已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离发为 cm. 三、课后练习 1．如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（0，3），C（﹣2，0），则点D的坐标为（　　） （0，﹣1） B．（0，﹣2） C．（0，﹣3） D．（0，﹣4） 2.如图，圆柱形水管内积水的水平面宽AB＝8cm，水深CD＝2cm．则水管的半径是（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，⊙O半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 4．如图，一条公路的转弯 ... ...