2025年九年级数学二轮复习专题：二次函数中等腰三角形存在性问题（无答案）

2025年九年级数学二轮复习专题：二次函数中等腰三角形存在性问题 【知识梳理】 1.几何法：两圆一线 方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线； 2.代数法： 解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3）后计算 【习题讲解】 1．已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，△PCE是以PE为腰的等腰三角形，求出P点坐标． 2．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A在点B左侧，点B的坐标（1，0），点C的坐标（0，﹣3）．D是抛物线的对称轴上一点，当△ACD是以AC为腰的等腰三角形时，求点D的坐标； 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究在点P的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明． 6．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3）．在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？直接写出点P的坐标． 7．如图，二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+4的图象与y轴交于点A与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．如果点p在坐标轴上，且△ABP是等腰三角形，直接写出p点坐标． 8．如图，二次函数的图象的顶点C的横坐标为﹣1，直线y＝﹣x+n与该二次函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，2），点B在y轴上．在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，P是第四象限内抛物线上的一个动点（点P不与点B，C重合），连接PB，PC，设点P的横坐标为m．当△PCB是以BC为底的等腰三角形时，求m的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴分别交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m． 如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D，若△PAB是以PA为腰的等腰三角形，求新抛物线的解析式． 11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． 抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴 ... ...