3.3垂径定理培优练习北师大版2024—2025学年九年级下册 一、知识梳理: 垂径定理及其推论是指:一条直线①过圆心;②垂直于一条弦;③平分这条弦(平分弦时，直径除外);④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧。“知二推三” 数学符号： ①过点； ②； ③; ④; ⑤; 二、作弦心距+用勾股定理 思考1：如图，的弦长为，圆心到的弦心距为，的半径为，试探究之间的数量关系． ①单勾股 例1 如图，在中，已知，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，则的长为 ． 【变式1】 如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为 ． ②双勾股 例2 如图，已知半径为2的有两条互相垂直的弦和，其交点到圆心的距离为1，则 ． 【变式2】如图，，，，是半径为1的上按逆时针方向排列的四个动点，，当时，求的取值范围； 三、弧中点→连半径，得垂径 思考2： 如图，是的弦，是的中点，你能得到那些结论 例3 如图，为直径，为弧的中点，于， （1）求证：为的切线； （2）已知：，，求的半径． 【变式3】如图，已知是的直径，与的两直角边分别交于点、，点是弧的中点，，连接． （1）求证：直线是的切线． （2）若，，求的值． 四、课后练习： （一）、选择题 1．下列命题中错误的有( )． (1)弦的垂直平分线经过圆心；(2)平分弦的直径垂直于弦； (3)所夹弧相等的两条弦平行；(4)圆的对称轴是直径. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（ ） A．CE=DE B．AE=OE C．= D． △OCE≌△ODE 第2题图 第3题图 第4题图 3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为（ ） A．2 B.3 C.4 D.5 4．如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．已知⊙O的直径AB=12cm，P为OB中点，过P作弦CD与AB相交成30°角，则弦CD的长为（ ）． A．cm B．cm C．cm D．cm 二、填空题 6．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=_____cm． 第6题图 第7题图 第8题图 7．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=_____cm，∠AOB=_____°． 8．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于E，CD=4，AE=1，则⊙O的半径为 ． 9．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是_____． 第9题图 第10题图 10．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=_____． 11．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= . 第11题图 第12题图 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AC．若∠CAB=22.5°， CD=8cm，则⊙O的半径为 cm． 三、解答题 13．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）请证明：E是OB的中点； （2）若AB=8，求CD的长． 14.如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED． （1）求证：AB=CD； （2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值． 15．如图所示，已知O是∠MPN的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D. ⑴求证：PB=PD. ⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明. 16.如图，点为 弧的中点，点为上一点，，，求的半径长． 17.如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC． （1）求证：AC＝CG； （2）若CD＝EG＝8，求弦DB的长度． ... ...
