2.4一元二次方程根与系数的关系 培优练习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 2.4一元二次方程根与系数的关系培优练习浙教版2024—2025学年八年级下册 一．选择题 1．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的一个根﹣1，则方程的另一根是（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 2．设a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两根x1，x2，满足x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣2 B．k＞2 C．﹣2＜k≤0 D．0≤k＜2 4．已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2＝0的两个实数根是x1，x2，且x1＝2x2，则m的值是（　　） A．0 B．2 C．﹣1 D．1 5．设m，n是方程2x2+3|x|﹣2＝0的两个实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 二．填空题 6．若m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2025＝0的两个实数根，则m2+mn+3n+2的值为 　 　． 7．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两实数根为x1，x2，且满足，则m的值为　 　． 8．设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝　 　． 9．已知a、b是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为　 　． 10．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，且x1＝2x2，若a+b+c＝0，则 　 　． 三．解答题 11．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣4＝0有两个不等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程有一个根为2，求方程的另一根． 12．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m﹣3＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2m+1，求m的值． 13．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足2a+b+c＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若一元二次方程的两实根为x1，x2，且，请确定a，b之间的数量关系． 14．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么由求根公式可推出x1+x2＝﹣p，x1 x2＝q，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若α，β是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则α+β＝ 　 　，α β＝ 　 　； （2）已知a，b满足a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，求的值； （3）已知a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝5，求正整数c的最小值． 15．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1． 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ 　 　，x1x2＝ 　 　； （2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值； （3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 答案 A B C A B 二、填空题 6．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2025＝0的两个实数根， ∴m+n＝3，mn＝﹣2025，且m2﹣3m﹣2025＝0， 则m2﹣3m＝2025， ∴m2+mn+3n+2 ＝m2﹣3m+mn+3（m+n）+2 ＝2025+（﹣2025）+3×3+2 ＝11． 故答案为：11． 7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝m， ∵， ∴， ∴x1＝x2或x1＝﹣x2， ①当x1＝x2时，这个方程有两个相等的实数根， Δ＝（﹣m）2﹣4×1×2m＝m2﹣8m＝0， 解得m＝0或m＝8； ②当x1＝﹣x2时，则m＝x1+x2＝0，符合题意； 综上，m的值为0或8， 故答案为：0或8． 8．【解答】解：∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1 x2﹣ ... ...