安徽省合肥市2025届高三上学期第一次教学质量检测数学试卷（PDF版，含答案）

2025 年合肥市高三第一次教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.C 2.A 3.C 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9.AB 10.ABD 11.AC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 5 12. 80 13. 14. 2 2 18 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分） 【解析】 （1）因为a + b = 2c cos B， 所以sin A+ sin B = 2sin C cos B ，即 sin (B +C )+ sin B = 2sin C cos B ，即sin B = sin (C B) 所以C B = B ，或C B + B = （舍去） 所以C = 2B . …………………………………6分 （2）由（1）知C = 2B， A = 3B， 所以0 2B ，0 3B ，故B , ， 2 2 6 4 c sinC sin 2B 2 则 = = = (2,2 3) . …………………………………13 分 bsin B sin2 B sin2 B tan B 注：其他解法酌情给分. 16.（15 分） 【解析】（1）如图所示，过点B 作 B1E ∥CC1 1，交BC 于 点 E ，在正三棱台 ABC A1B1C1中，四边形B1ECC1为平行 四边形． 因为B1E = 2 ， EC = 4，所以BE = 2． 2 2 又 BB B E + BB = BE 2 B E ⊥ BB 1 = 2 ，所以 1 1 ，即 1 1 ． 故CC1 ⊥ BB1，同理可得CC1 ⊥ AA1． 又直线 AA CC ⊥1与BB1相交，所以 1 平面 AA1B1B． …………………………………6 分 （2）以 AB 的中点O 为原点，OB ，OC 所在直线分别为 x轴，y 轴，过点O 且垂直于平面 ABC 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．取线段 A B A 3,0,01 1 中点F ，因为 ( )， B (3,0,0)，C (0,3 3,0)．所以 AB = (6,0,0)，BC = ( 3,3 3,0)． 3 2 6 3 2 6 由条件可知F 0, , ，则BB1 = BF + FB1 = 1, , ． 3 3 3 3 设平面 AA1B1B的法向量为n1 = (x, y, z)， 6x = 0 AB n1 = 0 则 ，即 3 2 6 ，取 z =1，则 y = 2 2 ， BB n = 0 x + y + z = 01 1 3 3 数学答案 第1页（共 4页） 故 n1 = (0, 2 2,1)． 设平面BB1C1C 的法向量为n2 = (m,n, t)， 3m+3 3n = 0 BC n2 = 0 2 则 ，即 3 2 6 ，取m = 3 ，则n =1， t = ， BB1 n2 = 0 m+ n + t = 0 2 3 3 2 故 n2 = 3,1, ． 2 2 2 2 + n n cos n ,n = 1 2 = 2 1 所以 1 2 = ． | n1 | | n2 | 1 38+1 3+1+ 2 1 所以平面 AA1B1B与平面BB1C1C 夹角的余弦值为 ． …………………………………15 分 3 注：其他解法酌情给分． 17.（15 分） 【解析】 ( ) ( 1 a ax 2 + x a （1）函数 f x 定义域为 0,+ )，且a 0， f (x) = a = ，令 x x2 x2 g (x) = ax2 + x a ， 1 当1 4a2 0，即a 时， g ( x) 0恒成立，则 f (x) 0，所以 f ( x)在 (0,+ )上是单 2 调递减； 1 2 0 a g (x) 1 1 4a 2 1+ 1 4a2 当1 4a 0，即 时，函数 有两个零点：x ， ， 2 1 = x2 = 2a 2a 当 x变化时， f (x)， f ( x)的变化情况如下表所示： x (0, x1 ) x x , x x ,+ 1 ( 1 2 ) x2 ( 2 ) f (x) 0 + 0 f ( x) 单调递减 f ( x1 ) 单调递增 f (x2 ) 单调递减 1 1 1 4a 2 1+ 1 4a2 1 1 4a2 所以，当0 a 时，f ( x)在 , 内单调递增，在 0, 2 2a 2a 2a 1+ 1 4a2 和 ,+ 上单调递减； 2a 1 当 a 时， f ( x)在 (0,+ )上单调递减． …………………………………7 分 2 1 （2）由（1）知，当0 a 时， f ( x)有两个极值点 x1， x2 (x1 x2 )， 2 1 则 x1， x2 是方程 g ( x) = 0的两个根，由韦达定理，得 x1x2 =1, x1 + x2 = ． a 所以0 x1 1 x2 ， 1 1 1 f (x1 )+ f (x2 )+ f (x1 + x2 ) = f (x1 )+ f + f = f x1 a a 数学答案 第2页（共 4页） 1 1 = ln a a = ln a 1+ a 2 ... ...