第一章 空间向量与立体几何 章末拓展试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 第一章 空间向量与立体几何 章末拓展试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 一、单选题 1．在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ） A． B． C．4 D．2 3．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 4．已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 6．在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 7．如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（ ） A． B． C． D． 8．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图所示，正方体中，分别在上，且，则正确的选项为（ ） A．至多与之一垂直 B． C．与相交 D．与平行 10．如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A．直线与底面所成的角为 B．平面与底面夹角的余弦值为 C．直线与直线的距离为 D．直线与平面的距离为 三、填空题 11．在空间直角坐标系中，已知，若平面的一个法向量为，则直线的一个方向向量为 ． 12．三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为 . 13．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥 中，底面 为邪田，两畔分别为1，3，正广 为 ， 平面，则邪田的邪长为 ；邪所在直线与平面 所成角的大小为 . 14．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 . 四、解答题 15．如图，正三棱柱中，底面边长为. (1)设侧棱长为，求证：； (2)设与的夹角为，求侧棱的长． 16．如图，三棱柱中，M，N分别是上的点，且．设，，． (1)试用，，表示向量； (2)若，求MN的长． 17．已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 18．如图，在直三棱柱中，分别为的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 19．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 参考答案 1．A 根据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项. 对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误； 对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意 ... ...