第二课时 空间向量的数量积 课标要求 1.掌握空间向量的数量积的概念、有关简单性质以及数量积运算的运算律. 2.能运用向量的数量积，判断向量的共线与垂直，并用于证明两直线平行与垂直. 一、空间向量的夹角及数量积的概念 1.思考 空间中任意两个向量都共面吗？ _____ _____ _____ 2.填空 (1)两个向量的夹角 定义 图示 表示 范围 给定两个非零向量a，b，任意在空间中选定一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的____称为向量a，b的夹角 〈a，b〉 ____ (2)两个向量的数量积 定义 记法 表达式 几何意义 已知两个非零向量a，b，则_____称为a，b的数量积 a·b a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉 a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积 规定零向量与任意向量的数量积为0. 温馨提示 (1)当两个向量的夹角θ为锐角时，a·b＞0，但当a·b＞0时，夹角θ不一定为锐角，因为θ可能为0. (2)当两个向量的夹角θ为钝角时，a·b＜0，但当a·b＜0时，夹角θ不一定为钝角，因为θ可能为π. (3)找两向量夹角的关键是把两向量平移到一个公共的起点，注意向量夹角的范围是[0，π]. 3.做一做 在正四面体A－BCD中，点E，F 分别是AC，AD的中点，则与的夹角为_____. 二、空间向量数量积的性质 1.思考 平面向量中向量a在直线l上的投影是如何定义的？向量a在向量b上的投影又是如何定义的？ _____ _____ _____ 2.填空 两个空间向量的数量积的性质 向 量 数 量 积 的 性 质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝__ 共线 同向：a·b＝_____ 反向：a·b＝_____ 模 (1)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝____ (2)|a|＝_____ (3)|a·b|≤|a|·|b| 夹角 若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_____ 运算律 (1)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b) (2)交换律：a·b＝b·a (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c 温馨提示 (1)向量a在向量b方向上的投影向量仍是一个向量.投影数量可正可负也可以是0. (2)投影向量a′＝|a|cos θ. (3)向量的数量积不满足结合律，对于三个非零向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立. 3.做一做 已知|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则a与b的夹角为_____. 题型一 空间向量的数量积运算 例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求下列各式的值： (1)·；(2)·；(3)·. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 求数量积的两种情况及方法 (1)已知向量的模和夹角 利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算. (2)在几何体中求空间向量的数量积 先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，再利用向量的数量积运算律展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. 训练1 已知空间四面体ABCD的每条边和对角线长都等于1，点F，G分别是AD，CD的中点，则·＝( ) A. B. C. D. 题型二 利用数量积求模和夹角 例2 (1)如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为_____. (2)已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是_____. _____ _____ 思维升华 利用数量积求夹角的余弦值： 训练2 已知正四面体OABC的棱长为1，点E是OA的中点，H为BC的中点， (1)求EH的长； (2)求异面直线OH与BE所成角的余弦值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 题型三 利用数量积解决垂直问题 角度1 已知垂直求参数 例3 已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb, 〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝_____. _____ _____ _____ 角度2 证明垂直关系 例4 在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，求证：OA⊥BC. _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 利用空间向量 ... ...
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