1.2.2 空间中的平面与空间向量（课件+学案+练习，共3份）人教B版（2019）选择性必修 第一册

1.2.2　空间中的平面与空间向量 课标要求　1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量. 2.掌握三垂线定理及其逆定理并会运用. 3.会利用空间向量证明线面、面面的平行和垂直. 一、平面的法向量 1.思考　过空间一点与已知平面α垂直的直线有多少条？过空间一点与已知直线l垂直的平面有多少个？ _____ _____ 2.填空　如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个_____，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α. 温馨提示　如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行，即平面的法向量有无限多个，它们互相平行. 3.做一做　设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是(　　) A.圆 B.直线 C.平面 D.线段 二、线面、面面的平行与垂直 1.思考　请同学们写出线面垂直、面面垂直的判定定理. _____ _____ 2.填空　(1)直线与平面平行、垂直的判定 v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则①n∥v ____；②n⊥v ____，或____. (2)两平面平行、垂直的判定 n1，n2分别是平面α1，α2的法向量，则 ①n1⊥n2 α1⊥α2； ②n1∥n2 _____，或_____. 温馨提示　直线的方向向量、平面的法向量都能确定直线、平面，因此，利用平面的法向量与直线的方向向量可以探究直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系. 3.做一做　若直线l的方向向量为a＝(－1，0，－2)，平面α的法向量为u＝(4，0，8)，则(　　) A.l∥α B.l⊥α C.l α D.l与α斜交 三、三垂线定理及其逆定理 1.思考　若一条直线l和一个平面α不垂直，则平面α内与直线l垂直的直线条数为多少？ _____ _____ 2.填空　(1)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影_____，则它也和这条斜线垂直. (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 温馨提示　(1)三垂线定理描述的是斜线PA，射影OA和直线a之间的垂直关系； (2)三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理. 3.做一做　下列命题中正确的是(　　) A.如果直线l与平面α外的一条直线l′在平面α内的射影垂直，则l⊥l′ B.如果直线l与平面α外的一条直线l′垂直，则l与l′在平面α内的射影垂直 C.如果向量a和直线l在平面α内的射影垂直，则a⊥l D.如果非零向量a和平面α平行，且和直线l垂直，直线l不与平面α垂直，则a垂直于l在平面α内的射影 题型一　利用空间向量证明线面平行 例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠PBA＝45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　应用向量法证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示，即用平面向量基本定理证明线面平行. 训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AB＝4，AA1＝2，点E，F，G分别是DD1，BD，AA1的中点，求证：D1G∥平面EFC. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 题型二　利用空间向量证明线面垂直 例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点. 求证：AB1⊥平面A1BD. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　用向量坐标法证明线面垂直的方法及步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐 ... ...