1.2.4 二面角 课标要求 理解二面角和二面角的平面角的概念，会用几何法和向量法求二面角的大小. 一、二面角 1.思考 两个相交平面把空间分成几部分？其中产生几个半平面？ _____ _____ 2.填空 (1)二面角的定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的_____所组成的图形称为二面角.如图所示，其中，直线l称为二面角的_____，这两个半平面称为二面角的_____. (2)二面角的平面角 在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的_____.二面角的大小用它的平面角大小来度量. (3)两个平面所成的角 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小. 温馨提示 (1)二面角是由两个半平面和一条棱构成的图形. (2)二面角的平面角与点O在l上的位置无关. (3)二面角θ的范围：0≤θ≤π，两个平面的所成角的θ的范围：0≤θ≤. 3.做一做 如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是_____. 二、向量法求二面角 1.思考 如图，两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角有什么样的关系？ _____ _____ _____ 2.填空 用空间向量求二面角的大小 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，如图(1)(2)所示，可以看出θ＝〈n1，n2〉或θ＝_____，则sin θ＝sin〈n1，n2〉，|cos θ|＝|cos 〈n1，n2〉|＝_____. (1) (2) 温馨提示 (1)若求两相交平面的所成的角，直接利用公式cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. (2)若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角. 3.做一做 已知二面角α－l－β，其中平面α的一个法向量m＝(1，0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1，1)，则二面角α－l－β的大小可能为_____. 题型一 几何法求二面角 例1 如图，四边形ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A－VB－C的余弦值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 利用几何法求二面角的过程要体现一作、二证、三计算，即首先作出二面角的平面角，然后证明(或说明)所作角为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面角的平面角大小.作二面角的平面角的方法：(1)定义法；(2)垂线法； (3)垂面法. 训练1 已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_____. _____ _____ _____ 题型二 射影面积法求二面角 例2 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为3，D，E分别是侧棱CC1和BB1上的点，且CD＝1，AD⊥DE，求截面ADE与底面ABC所成角的余弦值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 利用射影面积与图形面积比求二面角时公式cos θ＝的意义：θ为二面角的大小，S为在二面角的一个面内的图形F的面积，S′为图形F在另一个面内的射影F′的面积.当二面角为钝角时，此时二面角的大小为π－θ. 训练2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，E，F分别为棱BB1，DD1的中点，求平面AEC1F与平面ABCD所成的二面角的余弦值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ 题型三 向量法求二面角 例3 如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华 利用向量方法求二面角的大小时，多采用求法向量的方法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角 ... ...
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