2.6.1 双曲线的标准方程（课件+学案+练习，共3份）人教B版（2019）选择性必修 第一册

2.6.1　双曲线的标准方程 课标要求　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 一、双曲线的定义 1.思考　如图所示，将拉链的一边截去一部分，并将拉链的两端用图钉固定在画板的F1与F2处，将笔尖放置在拉锁P处，随着拉链沿不同的方向逐渐拉开，笔尖将作出一条曲线；调换拉链的两端，按照同样的操作，笔尖也将作出一条曲线.则笔尖的轨迹是什么？ _____ _____ _____ 2.填空　一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a_____|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝_____的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的_____，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的_____. 温馨提示　(1)常数要小于两个定点的距离. (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支. (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). (4)当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在. (5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 3.做一做　已知点P(x，y)的坐标满足－＝±，则动点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.两条射线 D.双曲线的一支 二、双曲线的标准方程 1.思考　设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ _____ _____ 2.填空　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 _____(a＞0，b＞0) _____(a＞0，b＞0) 焦点 _____ _____ a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 温馨提示　(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上. (2)a与b没有大小关系. (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 3.做一做　方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是_____. 题型一　双曲线定义的理解 例1 已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或a＝5时，P点的轨迹为(　　) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件. 训练1 已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　　) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线 _____ _____ _____ _____ _____ 题型二　求双曲线的标准方程 例2 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程. (1)经过点P，Q； (2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，实为一种好方法. 训练2 (1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程； (2)求与双曲线－＝1共焦点，且经过点P(1，2)的双曲线的方程. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 题型三　双曲线定义的应用 例3 如图，F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32， 试求△F1PF2的面积. _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 思维升华　(1) ... ...