2025 年“大梦杯”青少年数学水平测试 测试时间 2025 年 3月 9 日 9∶00－11∶00 满分 150 分 一 二 三 题 号 总 分 1～5 6～10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答；不使用计算器； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分．每道小题均给出了代号为 A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的 代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分） 1．已知 A，B k，C为反比例函数 y （ k 0）图象上的三点，D为线段 x AB的中点，CD AB，若点 A，B关于直线 y x对称，且CD 2，AB 6 2 ， 则 k （ ） A．8 B．12 C．16 D．36 2．方程 3x2 3x 6 3x2 6x 8 6x 4 0 （ ） A．无实数根 B．有且仅有一个实数根 C．有两个不同的实数根 D．有三个不同的实数根 2025 年“大梦杯”青少年数学水平测试 第 1 页 共 8 页 2 3a 3b 3c 3．满足方程组 的有序整数组 (a，b，c，d )有（ ） a b cd A． 2组 B．3组 C． 4组 D．5组 4．如图，G为△ABC的重心，D，E，F 分别为过点G的直线与△ABC的 边 AB， AC，BC 1延长线的交点，若CF BC，则△ADE与△ABC的面积之 2 比为（ ） A 16 B 9 C 5 D 3． ． ． ． 35 35 7 7 （第 4 题图） 5．已知 a 0，b 0，min a 15 2b 2 ， ， m，则m的最大值为（ ） a 1 b A．3 B． 4 C．3 2 2 D． 4 2 2 （ 符 号 min a，b，c 表 示 实 数 a ， b ， c 中 的 最 小 者 ， 如 min 1，1， 2 1，min 1，1， 2 1 .） 二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分） 6．若实数 x ， y 满足： x2 5y 6 ， y2 5x 6 ，且 x y ，则 y2 x2 . x y 2025 年“大梦杯”青少年数学水平测试 第 2 页 共 8 页 7．如图，圆O的半径为5，两条互相垂直的弦 AB与CD相交于点 P，若 PA 3，PC 4，则 PB2 PD2 . （第 7 题图） x 2a ， 8．设 a是正整数，若关于 x的不等式组 的所有整数解的和 x a a 1 2 是 435，则 a . 9．已知 a为正整数，若关于 x的方程 x4 (a 5)x3 (3a 10)x2 4a 16 0 有 四个互不相同的整数根，则 a . 10．若对任意不小于m的正整数 d，总存在正整数 a， b， c，使得：① 1 a b c d ；②1 a b，a b c，b c d 被3除的余数分别为 2，1，0， 则正整数m的最小值为 . 2025 年“大梦杯”青少年数学水平测试 第 3 页 共 8 页 三、解答题（共 4 题，每小题 20 分，共 80 分） 11．已知二次函数 y x2 bx c（b 0）的图象交 x轴于 A，B两点，交 y 轴于C点，且 AB 5，点C在 y轴负半轴上，△ABC的面积为10. （1）求b， c的值； 1 x 5 （2）若关于 x的不等式组 有解，求实数 k的最大 k x 4 x 2 bx c 值. 2025 年“大梦杯”青少年数学水平测试 第 4 页 共 8 页 12. 如图，H为锐角△ABC的垂心，点D，E，F 分别在△ABC的边 BC， CA， AB上，使得DB DF，DC DE . 求证： BHC EHF . （第 12 题图） 2025 年“大梦杯”青少年数学水平测试 第 5 页 共 8 页 13. （1）是否存在正整数 a，b，使得 (a 3b)(5a 7b)是一个完全平方数？ 若存在，请写出一组符合条件的正整数 a，b；若不存在，请说明理由； （2）是否存在正整数 a，b，使得 a2025 b2025是一个奇数，且 (a 3b)(5a 7b) 是一个完全平方数？若存在，请写出一组符合条件的正整数 a，b；若不存在， 请说明理由. 2025 年“大梦杯”青少年数学水平测试 第 6 页 共 8 页 14. 从1， 2，3，…， 2025中取出 2n个不同的数组成 n个数对 (a1，b1)， (a2 ，b2 )， (a3 ，b3)，…， (an ，bn ) .若 a1 b1，a2 b2 ，a3 b3，…，an bn是 n个 两两不相等的数，且均不超过 2025，求正整数 n的最大值. 2025 年“大梦杯”青少年数学水平测试 第 7 页 共 8 页 稿 纸 2025 年“大梦杯”青少年数学水平 ... ...
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