2.4 一元二次方程根与系数的关系 同步讲练 学生卷+解析卷

中小学教育资源及组卷应用平台 2.4 一元二次方程根与系数的关系 知识点一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则， 考点集训： 考点01 一元二次方程根与系数的关系 【典例1】设x1，x2是一元二次方程5x2﹣4x﹣1＝0的两个根．利用根与系数的关系求下列各式的值： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解析】解：由题知， 因为x1，x2是一元二次方程5x2﹣4x﹣1＝0的两个根， 所以，． （1）＝＝＝． （2）＝． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【即学即练1】设α、β是方程x2+2x﹣9＝0的两个实数根，求和α2β+αβ2的值． 【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，根据+＝，α2β+αβ2＝αβ（α+β），代入即可求得代数式的值． 【解析】解：根据题意得α+β＝﹣2，αβ＝﹣9． ∴+＝＝＝． α2β+αβ2＝αβ（α+β）＝﹣9×（﹣2）＝18． 【点睛】解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式，然后利用根与系数的关系求解． 考点02 利用一元二次方程根与系数的关系求未知字母的值 【典例2】已知关于x的一元二次方程方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝1﹣x1x2，求m的值． 【思路点拨】（1）利用判别式的意义得到（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）≥0，然后解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1，则2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），然后解关于m的方程得到m1＝1，m2＝﹣2，最后利用m的范围确定m的值． 【解析】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）≥0， 解得m≥﹣1； （2）根据题意得x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1， ∵x1+x2＝1﹣x1x2， ∴2m＝1﹣（m2﹣m﹣1）， 整理得m2+m﹣2＝0，解得m1＝1，m2＝﹣2， ∵m≥﹣1， ∴m的值为1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝． 【即学即练2】已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值． 【思路点拨】（1）利用判别式得到Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1变形得到x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【解析】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0， 解得m≤； （2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4， ∵（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1， ∴x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1， ∴2m﹣4﹣3×1+9＝m2﹣1， ∴m2﹣2m﹣3＝0， 解得m1＝﹣1，m2＝3（不合题意，舍去）． 故m的值是﹣1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1 x2＝．也考查了根的判别式． 分层训练： 题组A 基础过关练 1．设x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两个根，则x1+x2的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 【思路点拨】根据根与系数的关系得出即可． 【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣3， 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键． 2．下列一元二次方程中，两根之和等于5的是（　　） A．x2﹣5x+7＝0 B．x2+5x﹣4＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．2x2﹣10x﹣3＝0 【思路点拨】先根据根的判别式，判断有无实数根的情况 ... ...