4 多边形的内角和与外角和 课时学习目标 素养目标达成 掌握多边形的内角和与外角和定理 运算能力、几何直观、应用意识 基础主干落实 新知要点 1.多边形的内角和定理 (1)多边形的内角和:从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,这些对角线把n边形分割成(n-2)个三角形,因此n边形的内角和为(n-2)·180°. (2)正n边形的每个内角是. 对点小练 1.(1)从五边形的一个顶点出发,可以画出 两 条对角线. (2)从一个七边形的某个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,可以把一个七边形分割成 5 个三角形. (3)正七边形的内角和为 900° . 新知要点 2.多边形的外角和定理 (1)多边形的外角:多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角. (2)多边形的外角和都等于360°. (3)正n边形的每个外角等于. 对点小练 2.(1)七边形的外角和为(C) A.1260° B.900° C.360° D.180° (2)正六边形的一个外角的度数为 60 °. 重点典例研析 重点1 多边形的内角和定理(运算能力、几何直观) 【典例1】(教材再开发·P153例1变式)如图,在正五边形ABCDE中,AF∥CD交DB的延长线于点F,交DE的延长线于点G,求∠G的度数. 【自主解答】方法1:∵五边形ABCDE是正五边形, ∴∠C=∠CDE==108°,CD=CB, ∴∠CDB=36°, ∴∠GDF=108°-36°=72°, ∵AF∥CD, ∴∠F=∠CDB=36°, ∴∠G=180°-∠GDF-∠F=72°; 方法2:∵五边形ABCDE是正五边形, ∴∠CDG==108°. ∵AF∥CD, ∴∠G=180°-∠CDG=72°. 【举一反三】 1.(2024·威海中考)如图,在正六边形ABCDEF中,AH∥FG,BI⊥AH,垂足为点I. 若∠EFG=20°,则∠ABI= 50° . 2.如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是 540°或360°或180° . 【技法点拨】 多边形内角和的三点注意 (1)多边形的内角和是指n个内角的度数之和. (2)多边形的内角和为(n-2)·180°,且内角和为180°的整数倍. (3)由多边形的边数可以求出其内角和,由多边形的内角和也可以求出多边形的边数. 重点2多边形的外角和定理(几何直观、模型观念、运算能力) 【典例2】(教材再开发·P156例2拓展)若BP,CP分别平分△ABC的内角∠ABC和∠ACB,那么∠P与∠A之间有怎样的等量关系 【自主解答】∠P=90°+∠A,理由如下: ∵BP,CP分别平分∠ABC和∠ACB, ∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB, ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=(180°-∠A)=90°-∠A, ∴∠P=180°-∠PCB-∠PBC=180°-(90°-∠A)=90°+∠A. 【举一反三】 1.如图,若BP,CP分别平分△ABC的外角∠DBC和∠BCE,那么∠P与∠A之间有怎样的等量关系 【解析】∠P=90°-∠A,理由如下: ∵BP,CP分别平分∠DBC和∠BCE, ∴∠PBC=∠DBC,∠PCB=∠ECB, ∴∠PBC+∠PCB=∠DBC+∠ECB=(180°+∠A)=90°+∠A, ∴∠P=180°-∠PCB-∠PBC=180°-(90°+∠A)=90°-∠A. 2.如图,若BP,CP分别平分△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF,那么∠P与∠A之间有怎样的等量关系 【解析】∠P=∠A,理由如下: ∵BP,CP分别平分∠ABC和∠ACF, ∴∠PBC=∠ABC,∠PCF=∠ACF, ∴∠P=∠PCF-∠PBC=∠ACF-∠ABC=(∠ACF-∠ABC)=∠A,∴∠P=∠A. 素养当堂测评 1.(4分·几何直观)从六边形的一个顶点出发,可以画m条对角线,它们将六边形分成n个三角形,则m+n=(C) A.5 B.6 C.7 D.8 2.(4分·运算能力)一个多边形的内角和等于外角和的两倍,那么这个多边形是(D) A.三边形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 3.(4分·运算能力、几何直观·2024·赤峰中考)如图是正n边形纸片的一部分,其中l,m是正n边形两条边的一部分,若l,m所在的直线相交形成的锐角为60°,则n的值是(B) A.5 B.6 C.8 D.10 4.(8分·几何直观、运算能力)如图,在四边形ABCD中,BP,CP分别平分∠ABC, ∠BCD. (1)若∠A=100°,∠D=130°,∠ABC=∠BCD,求∠ABC的度数; (2)若∠A=α,∠D=β,求∠BPC.(用含α,β ... ...
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