1.2 直角三角形 分层训练（2课时，含答案） 2024-2025学年数学北师大版八年级下册

直角三角形(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　用“HL”证直角三角形全等 1.如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2=(B) A.40° B.50° C.60° D.75° 2.如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°,则∠AEC=(B) A.28° B.59° C.60° D.62° 3.如图,已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证:Rt△ABC≌Rt△DEC. 【证明】∵AD⊥BE, ∴∠ACB=∠DCE=90°, ∵C是BE中点, ∴BC=EC, 在Rt△ABC和Rt△DEC中,, ∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL). 4.(2024·菏泽期末)如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,点D是EF上一点,AE⊥EF于E,CF⊥EF于F,AE=CF,求证:Rt△ADE≌Rt△CDF. 【证明】连接BD, ∵∠BAD=∠BCD=90°, 在Rt△ABD和Rt△CBD中, , ∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL), ∴AD=CD, ∵AE⊥EF于E,CF⊥EF于F, ∴∠E=∠F=90°, 在Rt△ADE和Rt△CDF中, , ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL). 知识点2　直角三角形全等的判定的应用 5.如图,∠A=∠D=90°,AC∥DB,则△ABC≌△DCB的依据是(C) A.HL B.ASA C.AAS D.SAS 6.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,F是高AD和高BE的交点,CD=4,则线段DF的长度为(B) A.2 B.4 C.3 D.4 7.Rt△ABC和Rt△DEF如图放置,其中∠ACB=∠DFE=90°,AB=DE且AB⊥DE.若AC=6,EF=4,CF=3,则BD的长为　7　. 【B层 能力进阶】 8.使两个直角三角形全等的条件是(D) A.一个锐角对应相等 B.两个锐角对应相等 C.一条边对应相等 D.两条边对应相等 9.如图,在△ABC和△CDE中,∠ACB=∠CED=90°,AB=CD,BC=DE,则下列结论错误的是(B) A.△ABC≌△CDE B.E是BC的中点 C.AB⊥CD D.CE=AC 10.如图,点D在BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD.若∠AFD=145°,则∠EDF=　55°　. 11.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从A点出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP=　5或10　,△ABC与△APQ全等. 12.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠DAB的平分线交BC于点E,DE⊥AE,若AD=12,BC=8,求四边形ABCD的周长. 【解析】如图所示,延长AB,DE相交于点F, ∵∠DAB的平分线交BC于点E, ∴∠DAE=∠FAE, ∵DE⊥AE,∴∠AED=∠AEF=90°, ∵AE=AE, ∴Rt△AED≌Rt△AEF(ASA), ∴DE=EF,AD=AF, ∵AB∥DC,∴∠CDE=∠EFB, 在△DEC和△FEB中,, ∴△DEC≌△FEB(ASA), ∴DC=BF, ∵AB+DC=AB+BF=AF=12, ∴C四边形ABCD=AD+AB+BC+DC=AD+AF+BC=12+12+8=32. 【C层 创新挑战(选做)】 13.(几何直观、推理能力)如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AE=BC,∠1= ∠2. (1)求证:△ADE≌△BEC; 【解析】(1)∵∠1=∠2,∴ED=EC, ∵∠A=∠B=90°, 在Rt△ADE和Rt△BEC中, ∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL); (2)若M是线段DC的中点,连接EM,请写出线段EM与AD,BC之间的数量关系,并说明理由. 【解析】(2)AD2+BC2=2EM2,理由如下: 由(1)得Rt△ADE≌Rt△BEC, ∴∠AED=∠BCE, ∵∠A=∠B=90°,∴∠BCE+∠CEB=90°, ∴∠AED+∠CEB=90°,∴∠DEC=180°-90°=90°, ∵∠1=∠2,∴△DEC为等腰直角三角形, ∴∠1=∠2=45°, ∵M为DC中点, ∴∠DEM=∠CEM=∠DEC,EM⊥CD, ∴∠DEM=∠CEM=45°,∴EM=DM, 在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2=AD2+BC2, 同理可得,在Rt△EMD中,DE2=EM2+DM2=2EM2, ∴AD2+BC2=2EM2.直角三角形(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　直角三角形的性质 1.如图,已知l∥AB,CD⊥l于点D.若∠C=40°,则∠1的度数是(C) A.30° B.40° C.50° D.60° 2.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=3,BE=4,则阴影部分的面积是(A) A.19 B.15 C.12 D.6 3.如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,BE是一条角平分线,AD,BE相交于点P.已知∠EPD=125°,求∠BAD的度数. 【解析】∵AD是BC边上的高线,∠EPD=125°, ∴∠CBE=∠EPD-∠ADB=125°-90°=35°, ∵BE是一条角平分线, ∴∠ABD=2∠CBE=2×35°=70°, 在 ... ...