第1课时 复数的几何意义及复数的模与共轭复数 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.(2024·新课标全国Ⅱ)已知z=-1-i，则|z|等于( ) A.0 B.1 C. D.2 2.在复平面内，复数z=1+i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在复平面内，O为原点，向量对应的复数为-1+2i，若点A关于直线y=-x的对称点为B，则向量对应的复数为( ) A.-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1+2i 4.已知复数z=a+i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2，则复数z等于( ) A.-1+i B.1+i C.-1+i或1+i D.-2+i 5.已知复数z满足|z|2-3|z|-4=0，则复数z对应的点Z的集合是什么图形( ) A.一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆 6.在复平面内，把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数是( ) A.2 B.-2i C.-3i D.3+i 7.(5分)已知i为虚数单位，复数z=2+bi满足|z|=，b∈R且b>0，则b= . 8.(5分)复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)在复平面上对应的点在虚轴上，则a= ，|z|= . 9.(10分)在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2+i. (1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；(5分) (2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.(5分) 10.(11分)已知i为虚数单位，复数z=a+bi(其中a，b∈R)，若存在实数t，使得=-3ati成立. (1)求2a+b的值；(5分) (2)求|z|的取值范围.(6分) 11.在 ABCD中，点A，B，C分别对应复数4+i，3+4i，3-5i，则点D对应的复数是( ) A.2-3i B.4+8i C.4-8i D.1+4i 12.(多选)已知z1，z2是复数，则以下结论正确的是( ) A.若z1+z2=0，则z1=0且z2=0 B.若|z1|+|z2|=0，则z1=0且z2=0 C.若|z1|=|z2|，则向量和重合 D.若|z1-z2|=0，则= 13.(多选)18世纪末期，挪威数学家韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如|z|=||，也即复数z的模的几何意义为z在复平面内对应的点Z到原点的距离.下列说法正确的是( ) A.若|z|=1，则z=±1或z=±i B.若复数6+5i与-3+4i分别对应向量与，则||=，||=5 C.若点Z的坐标为(-1，1)，则在复平面内对应的点在第三象限 D.若复数z满足1≤|z|≤，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π 14.(5分)若复数z=(a-2)+(a+1)i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是 . 15.据记载，欧拉公式eix=cos x+isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=π时，得到一个恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z=的共轭复数为，则等于( ) A.--i B.-+i C.+i D.-i 16.(12分)已知x为实数，复数z=x-2+(x+2)i. (1)当x为何值时，复数z的模最小？(4分) (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y=-mx+n的图象上，其中mn>0，求+的最小值及取得最小值时m，n的值.(8分) 答案精析 1.C 2.D 3.B 4.A 5.A 6.B [复数对应的点为(3，-)，对应的向量按顺时针方向旋转，则对应的点为(0，-2)，所得向量对应的复数为-2i.] 7.3 8.±1 2或0 9.解 (1)设向量对应的复数为 z1=x1+y1i(x1，y1∈R)， 则点B的坐标为(x1，y1)， 由题意可知，点A的坐标为(2，1). 根据对称性可知，x1=2，y1=-1， 故z1=2-i. (2)设点C对应的复数为 z2=x2+y2i(x2，y2∈R)， 则点C的坐标为(x2，y2)， 由对称性可知，x2=-2，y2=-1， 故z2=-2-i. 10.解 (1)由题意可得， a-bi=-3ati=+i， 由复数相等的定义可得 消t并整理得2a+b=6. (2)|z|2=a2+b2=a2+(6-2a)2=5a2-24a+36=5+， 即|z|≥， 所以| ... ...
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