一、复数的概念 1.复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答. 2.掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养. 例1 (1)若复数z=1+i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2+的虚部为( ) A.0 B.-1 C.1 D.-2 (2)已知z1=m2-3m+m2i，z2=4+(5m+6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1-z2=0，则m的值为( ) A.4 B.-1 C.6 D.-1或6 反思感悟 处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a+bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a+bi的形式，以便确定其实部和虚部. (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根. 跟踪训练1 已知i是虚数单位，若z=(a∈R)是纯虚数，则实数a等于( ) A. B.- C.1 D.- 二、复数的四则运算 1.复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主. 2.通过对复数运算的学习，提升数学运算素养. 例2 计算： (1)+； (2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i). 反思感悟 (1)复数一般用代数形式，加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法运算需把分母实数化. (2)复数的运算包括加、减、乘、除，在解题时应遵循“先定性，后解题”的原则，化虚为实，充分利用复数的概念及运算性质实施等价转化. (3)运算过程中的常用公式及结论 ①i的乘方：i4n=1，i4n+1=i， i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N*). ②(1±i)2=±2i. ③z·=|z|2=||2. ④|z1·z2|=|z1||z2|，=. 跟踪训练2 (1)复数z满足z(+1)=1+i，其中i是虚数单位，则z等于( ) A.1+i或-2+i B.i或1+i C.i或-1+i D.-1-i或-2+i (2)已知z=-，则z100+z50+1的值为( ) A.i B.-i C.1+i D.1-i 三、复数的几何意义 1.复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题. 2.通过对复数几何意义的学习，培养直观想象素养. 例3 (1)在复平面内，复数 (i是虚数单位)所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)已知复数z1=2+3i，z2=a+bi(a，b∈R)，z3=1-4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若=2+，则a= ，b= . 反思感悟 在复平面内确定复数对应的点的步骤 (1)由复数确定有序实数对，即由z=a+bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b). (2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b). 跟踪训练3 若复数z满足|z+3-i|=，求|z|的最大值和最小值. 四、复数的综合问题 1.复数具有代数形式，且复数z=a+bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，故复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇. 2.通过复数与向量、方程、函数等知识的交汇，培养逻辑推理、数学运算素养. 例4 关于x的实系数方程x2-ax+ab=0. (1)设x=1-i是方程的根，求实数a，b的值； (2)证明：当>时，该方程没有实数根. 反思感悟 (1)解决复数范围内的实系数一元二次方程求参数问题时，常根据题意设出或代入方程的根，利用复数相等的充要条件求解. (2)实系数一元二次方程的根与系数的关系仍然满足韦达定理. 跟踪训练4 已知复数z满足z+2i，均为实数，复数(z+xi)2(x∈R)在复平面内对应的点在第一象限，其中i为虚数单位. (1)求复数z； (2)求实数x的取值范围. 答案精析 例1 (1)A (2)B [由题意可得z1=z2， 即m2-3m+m2i=4+(5m+6)i， 根据复数相等的充要条件可得 解得m=-1.] 跟踪训练1 C 例2 解 (1)原式=+ =-1+i+(-i)1 016 =-1+i+1=i. (2)原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)·(4-3i) =22-14i+25-25i=47-39i. 跟踪训练2 (1)C [设z=a+bi(a，b∈R)，则=a-bi， 由z(+1)=1+i，得a2+b2+a+bi=1+i， 所以b=1，a2+a+1=1 ... ...
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