4.5.2 几种简单几何体的体积（课件+学案+练习，共3份） 湘教版（2019）必修第二册

4.5.2　几种简单几何体的体积 [学习目标]　1.知道柱体、锥体、台体及球的体积计算公式.2.能用公式解决简单的实际问题. 一、祖暅原理 问题1　同一摞书，当改变摆放书的形式时(如图)，该摞书的总体积是否会改变？ 知识梳理 我国数学家祖暅得出了“幂势既同，则积不容异”这一结论，意思是：夹在平行平面α，β之间的两个形状不同的几何体，被　　　　平面α，β的任意一个平面所截，如果截面P和Q的面积　　　　　，那么这两个几何体的体积相等(如图所示). 二、柱体、锥体、台体的体积 知识梳理 1.锥体、台体、柱体的高 (1)锥体(棱锥、圆锥)的　　　到　　　　的　　　　称为锥体的高. (2)台体(棱台、圆台)或柱体(棱柱、圆柱)的　　　　　之间的　　　　称为台体或柱体的高. 2.棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的　　　　　　，h为棱柱的 棱锥 V棱锥=Sh S为棱锥的　　　　　　，h为棱锥的 棱台 V棱台=(S++S')h S'，S分别为棱台的　　　　　　　　，h为棱台的 3.圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱=Sh=πr2h S为圆柱的底面积，h为圆柱的高，r为圆柱的　　　　 圆锥 V圆锥=Sh=πr2h S为圆锥的底面积，h为圆锥的高，r为圆锥的　　　　 圆台 V圆台=(S++S')h=π(R2+Rr+r2)h S'，S分别为圆台的上底、下底面积，h为圆台的高，r，R分别为　　　　　　　　　　 问题2　观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，它们之间有什么关系？ 例1　(1)若一个圆柱与一个圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是(　　) A.1 B.1∶2 C.∶2 D.3∶4 (2)正四棱台的两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积. 反思感悟　(1)求几何体体积的常用方法 (2)求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解. 跟踪训练1　(1)如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1-D1EF的体积为　　　　. (2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为　　　　. 三、球的体积 问题3　设球的半径为R，你能类比圆的面积公式推导方法，推导出球的体积公式吗？ 知识梳理 球的体积公式V球=　　　　　　　　　(R是球的半径). 例2　(1)已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积. (2)已知球的表面积为64π，求它的体积. 反思感悟　 (1)求球的体积，关键是求球的半径R. (2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等. 跟踪训练2　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 四、组合体的体积 例3　如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm.现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求所得几何体的体积. 反思感悟　求组合体的体积的三个基本步骤 (1)弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么. (2)根据组合体的组成形式设计计算思路. (3)根据公式计算求值. 跟踪训练3　如图所示是一个下半部分为正方体、上半部分为正三棱柱的盒子(中间连通).若其表面积为(448+32)cm2，则其体积为(　　) A.(512+128)cm3 B.(216+128)cm3 C.(512+64)cm3 D.(216+64)cm3 1.知识清单： (1)柱体、锥体、台体的体积. (2)球的体积. (3)组合体的体积. 2.方法归纳：等体积转化法、公式法. 3.常见误区：立体感不强，找不到球与空间几何体切、接问题的解题切入点. 1.将半径为1，圆心 ... ...