中小学教育资源及组卷应用平台 圆与“双垂直型”（射影定理）的综合 1．如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F． （1） ． （2）若PN2＝PM MN，则 ． 2．如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（不与M、N重合），PH⊥MN于H点，过N点作NQ与PH平行交MP的延长线于Q点． （1）求∠QPN的度数； （2）求证：QN与⊙O相切； （3）若PN2＝PM MN，求的值． 3．如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）． （1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明； （2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1 S＝（S2）2，求（tanD）2的值； （3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE FN y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF． （1）求∠CDE的度数； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：AE＝CE； （2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD＝CF＝2cm，求⊙O的直径； （3）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若（n＞0），求sin∠CAB． 6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE＝5． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若BC＝5，求阴影部分的面积； （3）若CD＝3，求PC的长度． 7．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD AO＝AM AP． （1）连接OP，证明：△ADM∽△APO； （2）证明：PD是ΘO的切线； （3）若AD＝24，AM＝MC，求的值． 8．如图，已知PB与⊙O相切于点B，A是⊙O上的一点，满足PA＝PB，连接PO，交AB于E，交⊙O于C，D两点，E在线段OD上，连接AD，OB． （1）求证：直线PA是⊙O的切线； （2）①求证：点D是△PAB的内心． ②若PA＝13，sin∠APE，求DE的长； （3）已知，求tanC． 9．如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC、BC交于点F、D，过点D作DE⊥AC于点E，且CE＝FE． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连OE．若，AB＝10，求CE的长． 10．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE． （1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由； （2）求证：2DE2＝CD OE； （3）若tanC，DE，求AD的长． 11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交于点F． （1）求的值； （2）求证：△AEB∽△BEC； （3）求证：AD与EF互相平分． 圆与“双垂直型”（射影定理）的综合 参考答案与试题解析 1．如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F． （1） 1 ． （2）若PN2＝PM MN，则 ． 【分析】（1）证明△PEN∽△QFN，得①，证明△NPQ∽△PMQ，得②，再①×②得，再变形比例式便可求得结果； （2）证明△NPQ∽△NMP，得PN2＝NQ MN，结合已知条件得PM＝NQ，再根据三角函数得，进而得MQ与NQ的方程，再解一元二次方程得答案． 【解答】解：（1）∵MN为⊙O的直径， ∴∠MPN＝90°， ∵PQ⊥MN， ∴∠PQN＝∠MPN＝90°， ∵NE平分∠PNM， ∴∠MNE＝∠PNE， ∴△PEN∽△QFN， ∴，即①， ∵∠P ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
