9.2.4 总体离散成都的估计 教案

9.4.2总体离散程度的估计 (人教A版普通高中教科书数学必修第二册第九章) 一、教学目标 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）. 2.会求样本数据的方差、标准差、极差. 3.理解离散程度参数的统计含义. 二、教学重难点 1.方差、标准差的计算方法 2.利用样本的方差、标准差对总体数据进行分析 三、教学过程 （一）方差、极差和标准差的概念 引言：平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据“中心位置”的重要信息，可以描述一组数据的集中趋势。但有时候仅仅知道“中心位置”不足以让我们做出有效的决策，请看下面的案例。 问题1：有两位射击运动员在一次射击测试各射击10次，每次命中的环数如下：甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙9 5 7 8 7 6 8 4 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？ 预案：通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两位运动员射击成绩的平均数、中位数和众数均为7。从这个角度来看，两位运动员之间没有差别。结合初中知识，现在我们用方差来刻画两位射击运动员成绩的离散程度。 ， 甲运动员10次射击成绩的方差为4，乙运动员10次射击成绩的方差为1.2；由此可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，说明乙比甲的射击成绩稳定。 追问：高中的方差和我们初中学的有什么不同吗？ 方差的定义：假设一组数据是，用表示这组数据的平均数，用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即，则这组数据到的平均距离为，为了避免式子中含有绝对值，通常改用平方来代替，即，我们将定义为这组数据的方差，用表示。 公式的推导，因为 . 有时为了计算方差的方便，也用上述表达式计算方差。 设计意图：通过案例，帮助学生回忆方差的概念和统计含义。 问题2：除了方差，你还能想到其他刻画数据离散程度的统计量吗？ 预案：一种简单的度量数据离散程度的方法就是极差。极差是数据的最大值与最小值的差，即甲命中环数的极差=10-4=6，乙命中环数的极差=9-5=4。极差在一定程度上刻画了数据的离散程度，可以发现甲的成绩波动范围比乙大。但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，所含的信息量很少。 设计意图：让学生主动探索多个统计量刻画数据的离散程度，并认识到每个统计量的优缺点。 问题3：问题1中方差的单位是什么？ 预案：由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致。为了使二者单位一致，我们对方差开方，取它的算数平方根，即，我们称之为这组数据的标准差，用表示。 问题4：方差和标准差的取值范围是什么？如果方差和标准差为0，这组数据有什么特点？ 预案：非负数；方差和标准差都为0，那么这组数据都一样，都等于平均数。进一步说明，方差和标准差都是刻画一组数据的离散程度的指标，但是在解决实际问题中，一般多采用标准差。 分层随机抽样样本方差的计算 引言：在实际问题中，往往很难获得所有的数据，可以用简单随机抽样或分层随机抽样的方法抽取样本，用样本的方差估计总体的方差。请看下面的例题： 问题5：在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，样本的平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，样本的平均数和方差分别为160.6和38.62。你能由这些数据计算出样本的平均数和方差吗？并对高一年级全体学生的身高方差做出估计吗？ 预案：把抽取的男生样本记为，样本的平均数记为，方差记为；把抽取的女生样本记为，样本的平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为。 根据平均数的定义，算出；根据方差的定义和变形公式，总样本的方差 由可得 同理可得 所以，，将=170.6，=12.59和=16 ... ...