1.4.3用空间向量研究距离、夹角问题（第三课时） (人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章) 一、教学目标 1.理解利用空间向量解决立体几何问题的三步曲； 2.理解解决立体几何问题，可用的三种方法：几何法、向量法、坐标法； 3.理解如何求解直线上的相关动点坐标； 4.了解用空间向量法解决立体几何问题时，不一定非要建立空间直角坐标系，也可以建立空间基底，或直接进行向量线性运算。 二、教学重难点 1. 如何让立体几何问题合理转化为向量问题来进行求解； 2. 解决立体几何问题时，如何让几何法和向量法综合运用； 三、教学过程 1.课前练习，复习引入 【学生实际情况】经过前面两课时的学习，学生已经懂得运用空间向量法解决空间几何问题，为了温顾知新，简单设计了三个空间立体几何问题的练习，让学生加深理解空间几何与空间向量的关系。 【设计意图】创设数学复习情境，让学生感受在数学学习中，基础知识是解决数学问题的重要依据.让学生能熟练运用空间向量来解决空间几何问题。 【课前练习】 1．已知直线l在平面外，且是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系为_____.答案：平行关系 2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面夹角的余弦值为_____.答案： 3．已知点在平面内，点在平面外，若是平面的法向量，则点到平面的距离为_____.答案：3 2.探究典例，形成应用 举例9：如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度 取9.8m/ 2,精确到0.01 ）. 【问题预设】 问题1:降落伞在匀速下落的过程中,8根绳子拉力的大小总和与礼物重力大小有什么关系 【设计意图】让学生区分力是一个矢量，要看问题研究的对象，如果只讲大小，根据这个力的平衡关系，学生应该能回答8根绳子的拉力大小的总和是大于礼物重力大小. 【问题预设】 问题2:降落伞在匀速下落的过程中,8根绳子拉力的和与礼物重力有什么关系 【设计意图】问题递进，当问题研究的对象是力的时候，根据这个力的平衡关系，学生应该能回答8根绳子的拉力总和与礼物重力的关系是大小相等，方向相反. 【问题预设】 问题3:如何用向量方法解决这个问题 【设计意图】研究拉力的合力，就是看作每个向量在竖直方向上的投影向量。其大小就是投影向量的模长。通过这一组问题，能让学生更好的读懂题和准确理解题意. 【解题板演】 解： 记铅垂线方向的单位向量为,设每根绳子的拉力为, 因为=, 所以向量在向量上的投影向量为： 由于8根绳子的合力大小与礼物重力大小相等，所以 ，所以 即：降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小是. 【设计意图】规范解题，作好学生的示范.特别强调先设向量，再把实际问题转化为向量问题来求解，最后回答实际问题。 举例10：如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD, PD＝DC, E是PC的中点,作EF PB交PB于点F. 求证：PA平面EDB ; （2）求证：PB 平面EFD ; （3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 【问题预设】 问题1:线面平行的几何法证明思路是怎么样分析得到的 学生容易想到，如图作辅助线，从而利用三角形中位线来证明：PAEG 问题2:线面平行的向量法证明思路又是怎么样呢 也可以利用向量知识，先建立空间坐标系，再来证明： 也可以直接证明与平面EDB的法向量垂直，从而得到线面平行. 【设计意图】立体几何问题，首先想想利用掌握的空间关系来试证明，若能完成，则用几何法解决问题，若不能完成，则考虑向量法来补充证明。 【解题板演】 证明：（1）连接AC交BD于点G，再连接EG， 由正方形ABCD可得：AG=GC 又因为E是PC的中点， 所 ... ...
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