1.3.1 空间直角坐标系 教学设计

1.3.1空间直角坐标系 (人教A版普通高中教科书数学选修第一册第一章) 一、教学目标 1.了解空间直角坐标系 2.理解空间直角坐标系的知识形成过程和原理，会用空间直角坐标系刻画点的位置，掌握空间向量的坐标表示 3.学会用空间直角坐标系解决数学问题和实际问题，体会类比归纳的数学思想 二、教学重难点 重点：空间直角坐标系的建立 难点：空间向量的坐标表示 三、教学过程 1.概念形成 1.1复习引入，引发思考 问题1：请同学们回忆上节课的内容，什么是空间向量基本定理？它的用途是什么？你能举出一些具体的例子吗？ 【预设的答案】 空间向量基本定理：如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得． 我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量．所有空间向量组成的集合就是 应用：可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算，为解决问题带来方便；比如用基底法判断空间中线、面的位置关系（教材P15-习题6、7），用基底法求空间中线段的长度（教材P15-习题5）。 【设计意图】让学生回忆空间向量基本定理以及应用，让学生体会基底概念的引入为几何问题代数化奠定基础，也为本节课的知识内容做好铺垫，加强知识间的联系. 问题2：请同学们回忆平面向量与平面直角坐标系之间的联系和对应关系，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？ 【预设的答案】在平面向量中，我们以平面直角坐标系中的与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j为基底，结合平面向量基本定理，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算。学生提出可以尝试进行类比，将知识拓展到空间。 【设计意图】让学生回忆平面直角坐标系表示向量及进行运算的形成过程，为本节课的知识内容做铺垫，同时体会类比的数学思想。 1.2合情推理，形成概念 【探究一】类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？以小组为单位进行讨论。 【活动预设】通过类比的数学思想尝试构建空间直角坐标系。 【设计意图】以讨论的形式加强学生间的交流和合作探究能力，为后续建立空间直角坐标系与空间向量之间的联系做铺垫。 问题3：平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系应该有哪些要素？它们需要满足什么条件？引导学生填写表格。 【活动预设】 坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系 原点 坐标原点O 坐标原点 坐标轴 相互垂直的两条坐标轴x轴和y轴 三条互相垂直的坐标轴 单位长度 单位长度 单位长度 【设计意图】学生自主或通过讨论完成表格，体会坐标系的三要素、平面直角坐标系与空间直角坐标系的异同。 问题4：利用单位正交基底概念，我们可以如下这样理解平面直角坐标系（给出左边表格内容，让学生自主简述右边表格内容）。类比到空间，你能否给出空间直角坐标系的定义呢？ 【活动预设】 平面直角坐标系 空间直角坐标系 在平面内选定一点O和一个单位正交基底｛i, j｝ 在空间选定一点O和三个基向量，叫做i, j, k，它们是两两互相垂直的单位向量 以O为原点，分别以i, j的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴 以O为原点，分别以i, j, k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴 教师讲授：空间直角坐标系定义： 在空间选定一点和一个单位正交基底, , . 以点为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，，，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 【设 ... ...