2.1.2 两直线平行和垂直的判定 教学设计

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 (人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章) 一、教学目标 1. 学会用斜率判断两条直线的平行和垂直关系，并解决相应的几何问题； 2. 体会利用代数方法研究几何问题的解析几何基本方法； 3. 促进数学运算、直观想象、逻辑推理等素养的发展. 二、教学重难点 1. 重点：根据斜率判定两条直线平行和垂直. 2. 难点：将判定两条直线平行和垂直转化为判断两条直线斜率的关系来研究. 三、教学过程 1.复习巩固，引入课题 为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题. 我们知道，两条直线的位置关系只与两条直线的相对方向有关，也就是说只与斜率有关，若直线的斜率为，则它的一个方向向量的坐标为. 因此，我们可以通过直线的斜率来判断两条直线的位置关系. 【设计意图】复习前一节的知识和研究方法，运用已有知识，建立新旧知识的联系，为本节课的研究打下基础，引出课题. 2.合作交流，探究新知 2.1具体感知，理性分析 问题1：我们知道，平面中的两条直线有两种位置关系：相交、平行. 当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？并论证你的结论. 注：若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线. 【预设的答案】相等，因为两条直线平行，它们的倾斜角相等. 【设计意图】引导学生进行主动探究，先通过直观感知，提出两条直线平行的条件，再进行理性分析，通过倾斜角相等、方向向量共线进行论证，建立知识之间的联系. 问题2：两条直线平行，它们的斜率一定相等吗？ 【预设的答案】不一定，因为两条直线平行，有可能它们的斜率都不存在. 【设计意图】启发学生理解问题1所得结论的前提条件，完善知识体系，强化分类讨论的意识，培养严谨的思维习惯. 2.2探究典例，初步应用 例1 已知A(2，3)，B(–4，0)，P(–3，1)，Q(–1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论． 【预设的答案】AB∥PQ. 【设计意图】将判定两条直线平行转化为判断两条直线斜率的关系来研究，体会用代数方法研究几何问题的思路. 例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，–1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 【预设的答案】四边形ABCD是平行四边形. 教师活动：启发学生先画图，直观感知，提出猜想，再计算直线的斜率，解决问题. 【设计意图】强化数形结合的思想，进一步体会用代数方法研究几何问题的思路. 2.3类比研究，渗透思想 问题3：显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交. 在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形，直线l1，l2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？类比前面的研究进行讨论. 【活动预设】类比前面的研究方法，通过研究两条直线的倾斜角之间的关系，或者通过两条直线方向向量的关系，得到结论. 教师活动：利用GGB软件，通过具体的数据，启发学生直观感知两条直线垂直时，倾斜角和斜率之间的关系. 【设计意图】启发学生进行研究讨论，探究两条直线垂直的条件. 问题4：当两条直线垂直时, 它们的斜率之积一定等于－1吗？为什么？ 【预设的答案】不一定，因为其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 【设计意图】启发学生理解所得结论的前提条件，完善知识体系，培养严谨的思维习惯. 例3 已知A(–6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，–6)，试判断直线AB与PQ的位置关系． 【预设的答案】垂直. 【设计意图】将 ... ...