2.2.2 直线的两点式方程 教学设计

2.2.2直线的两点式方程 (人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章) 一、教学目标 1．探索并掌握直线的两点式方程； 2．根据直线位置的不同几何要素，确定直线方程的不同形式． 二、教学重难点 重点：直线的两点式和截距式方程． 难点：直线的两点式方程的建立． 三、教学过程 1．直线的两点式方程的建立 1.1温故知新，引发思考 我们知道确定直线位置的基本几何要素有两类：（1）直线上一点和方向（斜率）；（2）两点确定一条直线． 我们已经探索了过点，斜率为的直线的点斜式方程为． 特例：直线的斜截式方程． 问题1：（1）已知直线经过两点，（其中，），因为两点确定一条直线，所以直线是唯一确定的．即是说，对于直线上的任意一点，它的坐标与点，的坐标之间具有唯一确定的关系．这一关系是什么？ 【预设答案】方案一：用点，的坐标可以唯一确定直线的方程，点的坐标是方程的解；方案二：由点与点，三点中任意两点确定的直线的斜率相等． 【设计意图】通过方案一可以引导学生理解“直线上任意点的坐标都是直线方程的解”，从而领悟到“表示直线上任意点的坐标满足的关系，也就是确定直线的方程”．方案二可以直线建立点的坐标满足的关系式，两种方案中斜率均处于核心地位． 1.2尝试探究，建立方程 探究活动：以小组为单位在方案一和方案二中选取一种方案探究点的坐标与点，的坐标之间的关系，然后以组为单位汇报探究的过程和分享探究成果． 【活动预设】让学生自主设计探究思路，规划探究步骤，经历数学探究过程，规范探究成果，从而积累数学活动经验． 【设计意图】不同的方案将得到不果的探究成果，根据所得关系式的不同，进而引导学生思考，如何统一结论，规范探究成果． 问题2：如何用统一的形式表示所得结果，谈谈你的想法？ 【活动预设】 （1）从得到的关系式的形式上，分析其异同点； （2）化异为同，使得结果的结构特点更明确，形式更美． 【设计意图】引导学生对所得成果，进一步分析，找出其区别与联系，并在此基础上进行优化，积累数学活动经验． 问题3：在探究过程中，你认为关键步骤是什么，谈谈你的体会？ 【活动预设】引导学生发现两种方案中，斜率均处于核心地位．斜率公式是联系直线上任意点与两已知点桥梁，是化“两点”为“一点和方向”的关键，体会所得直线方程与点斜式方程的关系． 【设计意图】引导学生体会斜率在建立直线方程的过程中处于核心地位，以斜率公式为桥梁，将问题“两点确定一条直线”转化为“一点和斜率唯一确定一条直线”，体会直线的两点式方程是点斜式方程的一个“变式”或推论． 课堂新授：已知直线经过两点，，其中，．则直线的方程为 ． 我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）． 问题4：请分析直线的两点式方程的结构特点、适用条件，以及它与直线的点斜式方程的关系． 【预设答案】（1）直线方程的结构特点：运算：两边均是分式形式；数量：左边均是纵坐标（），右边均是横坐标（）；下标：上下、左右下标序号一致；两边分子之比与分母之比相等，且都等于直线的斜率．所以直线的两点式方程具有结构美、对称美、有序美、运算美等特点． （2）适用条件，由，的条件，可知当直线与坐标轴不垂直（或平行）时，才可以写出直线的两点式方程． （3）直线的两点式方程可以看作是直线的点斜式方程的“变式”或推论． 【设计意图】引导学生认识直线的两点式方程的本质与结构特点，了解它与直线的点斜式方程之间的关系，发现感受数学之美． 1.3操作确认，创新应用 问题5：直线方程的斜截式是点斜式的特例，类比探索直线的两点式方程的特例，并对你的结果进行优化和评析． 【预设答案】当直线的两点是它分别与轴，轴的交点时，两点式可改写成更简洁美观的形 ... ...