7.2 课时2 复数的乘、除运算 【学习目标】 1.掌握复数代数形式的乘法与除法运算,并会简单应用.(数学抽象) 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律,掌握虚数单位“i”的幂值的周期性,并能应用周期性进行化简与计算.(数学运算、逻辑推理) 3.掌握共轭复数的运算性质,并能运用其解决实系数一元二次方程在复数范围内的解集问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.复数的加、减运算类似于多项式的加、减运算,复数相乘是否类似于多项式相乘 2.复数的乘法法则是什么 3.复数a+bi(a,b∈R)的共轭复数如何表示 这两个复数之积是实数还是虚数 4.复数的除法是乘法的逆运算吗 5.(1) i2= ;i3= ;i4= . (2)in的值会按周期出现吗 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除,再加减. ( ) (2)两个共轭复数的和与积都是实数. ( ) (3)若z1,z2∈C,且+=0,则z1=z2=0. ( ) 2.复数(1+i)2(2+3i)的值为( ). A.6-4i B.-6-4i C.6+4i D.-6+4i 3.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.1+i+i2+i3+…+i2 025= . 【合作探究】 复数的乘法运算法则 问题1:“计算(1-2i)(3+4i)”需要知道哪几个问题 问题2:你能计算(1-2i)(3+4i)吗 是如何计算的 问题3:复数的乘法与多项式的乘法有何不同 问题4:|z|2=z2,正确吗 1.复数乘法的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 计算下列各题: (1)(1-i)(1+i)+(-1+i); (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i. 【方法总结】(1)两个复数代数形式的乘法运算步骤 ①按多项式的乘法展开; ②将i2换成-1; ③进行复数的加、减运算. (2)常用公式 ①(a±bi)2=a2-b2±2abi(a,b∈R); ②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R); ③(1±i)2=±2i. (1-i)2-(2-3i)(2+3i)=( ). A.2-13i B.13+2i C.13-13i D.-13-2i 复数的除法运算法则 类比根式除法的分母有理化,比如=,探究复数的除法法则. 问题1:类比上述根式运算,你能写出复数的除法法则吗 问题2:复数除法的实质是分母实数化,即把分子和分母同乘一个什么样的数 复数除法的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0,且a,b,c,d∈R), 则==+i. (1)实数化:分子、分母同乘分母的共轭复数,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母有理化相类似. (2)代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开. 知识拓展:虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到复数单位i的乘方,i有如下性质: i4n+1=i;i4n+2=-1;i4n+3=-i;i4n=1(n∈N*). 特别提醒:①上述公式说明i的幂具有周期性,且最小正周期是4. ②n可推广到整数集. ③4k(k∈Z)是i的周期. ④与i有关的几个结论: (1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i. (1)已知z=,则z在复平面内对应的点的坐标为( ). A.-,1 B.,1 C.,-1 D.1, (2)(2023年新高考全国Ⅰ卷)已知z=,则z-=( ). A.-i B.i C.0 D.1 【方法总结】(1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①将除式写为分式; ②将分子、分母同乘分母的共轭复数; ③将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式. (2)常用公式 ①=-i;②=i;③=-i. (1)设复数z满足=i,则|z|=( ). A.1 B. C. D.2 (2)计算:①;②. 复数运算的综合问题 问题1:若z=,则z是什么数 这个性质有什么作用 问题2:若z≠0且z+=0,则z是什么数 这个性质有什么作用 问题3:三个实数|z|,||,z·具有怎样的关系 问题4:在复数范围内,如何求方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0,Δ<0)的根 1.i的乘方具有周期性 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*. 2.(1±i)2=±2i,=i, ... ...
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