专题训练3 构造函数问题 一、单项选择题 1．已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，且f(x)＋(x－1)f′(x)>0，则( C ) A．f(1)＝0 B．f(x)<0 C．f(x)>0 D．(x－1)f(x)<0 解析：令g(x)＝(x－1)f(x)，则g′(x)＝f(x)＋(x－1)f′(x)>0，所以g(x)在R上是增函数．又因为g(1)＝0， 所以当x>1时，g(x)＝(x－1)f(x)>0； 当x<1时，g(x)＝(x－1)f(x)<0， 所以当x≠1时，f(x)>0， 又f(1)＋(1－1)f′(1)＝f(1)>0， 所以A，B，D错误，C正确． 2．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(m－2 024)>(m－2 024)f(1)，则实数m的取值范围是( D ) A．(0，2 024) B．(2 024，＋∞) C．(2 025，＋∞) D．(2 024，2 025) 解析：设g(x)＝，则g′(x)＝<0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又f(m－2 024)>(m－2 024)f(1)， 且函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 所以m－2 024>0，所以m>2 024， 所以＞， 即g(m－2 024)>g(1)， 所以m－2 024<1 m<2 025. 综上可得，2 024
0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( D ) A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，3) 解析：令F(x)＝f(x)g(x)，则F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)，当x＜0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0， 则当x<0时，F(x)为增函数．∵f(x)为定义在R上的奇函数，g(x)为定义在R上的偶函数，∴F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，∴F(x)为定义在R上的奇函数．故当x>0时，F(x)仍为增函数且F(0)＝0. 又F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0，所以F(3)＝－F(－3)＝0.根据F(x)＝f(x)g(x)的性质，可作出F(x)的大致图象．如图： ∴f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3). 4．已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是( D ) A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b 解析：设g(x)＝，g′(x)＝，因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以函数g(x)＝在(0，＋∞)上单调递减．因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以c＝＝.a＝g(e)，b＝g(ln 2)，c＝g(3).因为3>e>ln 2，所以g(3)2，f(0)＝5，则不等式f(x)－3e－x>2的解集为( A ) A.(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：因为f(x)＋f′(x)>2，所以构造函数g(x)＝exf(x)－2ex，g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－2]>0，所以g(x)在R上单调递增，g(0)＝f(0)－2＝3.因为f(x)－3e－x>2，所以exf(x)－2ex>3，即g(x)>3＝g(0)，所以x>0.故选A. 6．已知f′(x)为函数f(x)的导函数，满足tan x·f′(x)＞f(x)，a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系正确的是( A ) A．a0， 故>0，所以函数g(x)＝在上单调递增， 所以＜＜， 即2f＜f＜f， 即f＜f＜f， 即a＜b＜c. 二、多项选择题 7．若f(x)满足f′(x)＋f(x)>0，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是( BD ) A．f(a)f(－a) C.f(a)>f(0) D．f(a)＞ 解析：设h(x)＝exf(x)， 则h′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]. 因为f′(x)＋f(x)>0， 所以h′(x)>0，h(x)在R上是增函数． 因为a是正实数，所以a<2a， 所以eaf(a)1，故f(a)，f(2a)大小不确定，故A错误； 因为－a＜a，所以e－af(－a)＜e ... ... 