阶段训练 第二章 导数及其应用【1～5】 (原卷版+解析版)

阶段训练【§1～§5】 一、单项选择题 1．如图所示，函数y＝f(x)的图象经过A，B两点，则函数f(x)在这两点之间的平均变化率是(　B　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：依题意可知Δx＝xB－xA＝3－1＝2，Δy＝yB－yA＝1－3＝－2，所以函数f(x)在[xA，xB]上的平均变化率是＝＝－1. 2．下列说法正确的是(　D　) A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点 B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点 C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线 D．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，但f′(x0)不一定存在 解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A，B错误；f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C错误，D正确． 3．(2024·广东潮州高二期末)若(x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝(　C　) A．4 B．8 C．80 D．3 125 解析：两边同时求导得5(x＋1)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4.令x＝1，则5×24＝a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝80.故选C. 4．(2024·山西临汾高二期末)若曲线f(x)＝a cos x＋b sin x在x＝处的切线方程为y＝4x＋2－π，则＝(　A　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：f′(x)＝－a sin x＋b cos x，由题意，得f′＝－a sin ＋b cos ＝4，整理，得－a＋b＝4①，由切线经过，得f＝a cos ＋b sin ＝2，整理，得a＋b＝2②，联立①②解得a＝－，b＝3，故 ＝－3.故选A. 5．(2024·湖南长沙雅礼中学高二月考)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率是(　B　) A．1 B．2 C．e D．－e－2－1 解析：方法一　当x>0时，－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，对应的导函数为f′(x)＝ex－1＋1，所以f′(1)＝2，即所求的切线的斜率是2.故选B. 方法二　因为f(x)为偶函数，所以点(1，2)关于y轴的对称点(－1，2)在f(x)的图象上．因为f′(x)＝－e－x－1－1(x≤0)，所以f′(－1)＝－2.因为f(x)为偶函数，所以f(x)的图象在关于y轴对称的点处的切线的斜率互为相反数，所以曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率是2. 6．已知函数f(x)＝x2＋cos x，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是(　A　) A　　　　　　 　B C　　　　　　 　D 解析：f′(x)＝x－sin x，则易知f′(x)是奇函数，排除B，D.又当x＝时，f′(x)＝－＜0，排除C.故选A. 二、多项选择题 7．设函数f(x)＝cos x，则下列说法正确的是(　BC　) A．′＝－1 B．′＝ C．曲线f(x)在点处的切线方程为x＋y－＝0 D．[xf(x)]′＝cos x＋x sin x 解析：因为f(x)＝cos x，所以f()＝cos ＝0，所以′＝0，故A错误；因为f(x)＝cos x，所以＝，所以′＝，故B正确；因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x，所以f′＝－sin ＝－1，所以曲线f(x)在点处的切线方程为x＋y－＝0，故C正确；[xf(x)]′＝(x cos x)′＝cos x－x sin x，故D错误． 8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的导函数为f′(x)，则(　ACD　) A．若f(x)为奇函数，则f′(x)为偶函数 B．若f′(0)＝0，则f(x)为奇函数 C．若f′(x)的最小值为0，则a2＝3b D．若f′(x)为偶函数，则f(x)为奇函数 解析：由题意得，对于A，若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即－x3＋ax2－bx＝－x3－ax2－bx，故a＝0，又因为f′(x)＝3x2＋b，f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数，故A正确；对于B，若f′(0)＝0，又因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，则b＝0，故f(x)＝x3＋ax2，f(－x)＝－x3＋ax2，当a＝0时，f(－x)＝－f(x)，f(x)是奇函数，当a≠0时，f(－x)≠－f(x)，f(x)不是奇函数，所以f(x)不一定是奇函数，故B错误；对于C，若f′(x)的最小值 ... ...