3．1 抛物线及其标准方程 [学习目标] 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程． 一、抛物线的定义 问题1 如图，先将一把直尺固定在画板上，再把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作直线l)，然后取一根细绳，它的长度与另一条直角边AB相等，细绳的一端固定在三角板顶点A处，另一端固定在画板上的点F处．用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线，即点P的轨迹．你能发现点P满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 知识梳理 1．定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的_____的点的集合(或轨迹)叫作抛物线． 2．这个定点F叫作抛物线的_____． 3．这条定直线l叫作抛物线的_____． 例1 (1)在平面内，到直线x＝－2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是( ) A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 (2)过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 反思感悟 理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上． 跟踪训练1 已知动点M满足到原点的距离与其到直线12x＋5y－15＝0的距离相等，则动点M的轨迹为( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 二、求抛物线的标准方程 问题2 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，能使所求抛物线的方程形式简单？ 知识梳理 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 例2 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为y＝； (2)经过点(－3，－1)； (3)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． 反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． 跟踪训练2 (1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝_____，准线方程为_____． (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为_____． 三、抛物线标准方程的应用 例3 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)y＝－x2；(2)x＝ay2(a≠0)． 反思感悟 求抛物线焦点坐标和准线方程的方法 (1)先将抛物线方程化成标准形式，再判断抛物线的焦点位置，最后准确地求出p的值． (2)抛物线y2＝2ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－，不必讨论a的正负． 跟踪训练3 (1)抛物线x2＝－3y的准线方程是( ) A．y＝－ B．y＝ C．x＝－ D．x＝ (2)已知抛物线ax2＝y(a≠0)的焦点到准线的距离为，则实数a等于( ) A．±1 B．±2 C．± D．± 1．知识清单： (1)抛物线的定义． (2)抛物线的标准方程的四种形式． 2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归． 3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式． 1．在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．抛物线y＝－x2的准线方程是( ) A．x＝ B．x＝ C．y＝2 D．y＝4 3．已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A．(1,0) B. C. D．(0,1) 4．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_____． 3．1 抛物线及其标准方程 问题1 点P运动的过程中，始终有|PF|＝|PB|，即点P与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点P的轨迹形状与二次函数的图象相似． 知识梳理 1．距离相等 2．焦点 3．准线 例1 (1)A (2)D 跟踪训练1 C 问题2 我们取经过焦点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系．设|KF|＝p(p>0)，那 ... ...
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