4．1 直线的方向向量与平面的法向量 第1课时 直线的方向向量与直线的向量表示 [学习目标] 1.能用向量语言表述直线.2.理解直线的方向向量，并会求直线的方向向量． 一、直线的方向向量 问题1 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 问题2 在空间中，怎样可以确定一条直线？ 知识梳理 1.设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的方向向量． 2.已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得＝_____.反之，由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线l上，因此，我们把这个式子称为直线l的向量表示． 例1 在三棱锥P－ABC中，E，O，G分别为PA，AC，OC的中点．过点G求作直线EO的一个方向向量． 反思感悟 直线的方向向量的求法 求直线AB的方向向量，就是找与平行的任意非零向量，因此可以在直线AB上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB的方向向量，也可以在与直线AB平行的直线上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量也是直线AB的方向向量． 跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：是直线GH的一个方向向量． 二、直线方向向量的简单应用 例2 已知在空间直角坐标系O－xyz中，点A(4，1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且3||＝||，则点C的坐标是( ) A. B. C. D. 反思感悟 利用方向向量求坐标的方法：将直线的向量表示＝ta转化为坐标，利用向量的坐标运算可求得． 跟踪训练2 已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0，1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为( ) A. B. C．(－2,2,0) D．(2，－2,0) 三、点在直线上的充要条件 问题3 在空间中，如何证明A，B，P三点共线？ 例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． 反思感悟 P，A，B三点共线的两种充要条件 (1)存在实数t，使得＝t，即∥. (2)存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y(其中x＋y＝1)． 跟踪训练3 (1)在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若＝＋x＋y，且G，M，N三点共线，则x＋y等于( ) A．－ B. C. D．－ (2)已知点A(2,1,3)，B(－1,3,1)，直线AB与yOz平面的交点C的坐标为_____． 1．知识清单： (1)直线的方向向量及其应用． (2)直线的向量表示． (3)点在直线上的充要条件． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：对直线的方向向量表示理解不到位而致误． 1．(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的方向向量是( ) A．(2,2,6) B．(1,1,3) C．(3,1,1) D．(－3,0,1) 2．(多选)由下列各式，可以判定点P在直线AB上的是( ) A.＝＋k B.＝＋k C.＝＋k D.＝＋k 3．已知A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，且＝2a，则点B的坐标为( ) A．(－7,10,24) B．(7，－10，－24) C．(－6,8,24) D．(－5,6,24) 4.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为_____，直线BC1的一个方向向量为_____． 第1课时 直线的方向向量与直线的向量表示 问题1 在空间中，我们取一定点O，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示，向量就是点P的位置向量． 问题2 两点可以确定一条直线；由直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线． 知识梳理 2．ta 例1 解 如图所示，取PE的中点H，连接HG， 则即是所求作的一个方向向量， ∵E，O，G，H分别是PA，AC，OC，PE的中点， ∴HG∥OE， ∴是直线EO的一个方向向量． (答案不唯一) 跟踪训练1 证明 连接MO(图略)， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O为A ... ...
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