3.3.1 抛物线及其标准方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 3.3.1 抛物线及其标准方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 一、单选题 1．已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 2．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（ ）. A．1 B． C．2 D． 7．已知，C是抛物线上的三个点，F为焦点，，点C到x轴的距离为d，则的最小值为（ ） A．10 B． C．11 D． 8．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ） A．3 B．2 C． D．5 二、多选题 9．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（ ） A．点的坐标为 B． C． D． 三、填空题 11．已知抛物线、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则b＝ . 12．抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点，其到准线的距离为6，则 ． 13．设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 14．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m. 四、解答题 15．已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2． (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求点Q的轨迹方程． 16．已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程. 17．根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上且其到准线的距离为6； (3)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (4)对称轴是轴，经过点． 18．在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求： (1)点P到点F与它到_____的距离之和的最小值； (2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值； (3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值． 参考答案 1．C 利用抛物线的定义可求得点的横坐标. 设点的横坐标为，抛物线的标准方程为，该抛物线的准线方程为， 因为抛物线上的点到其焦点的距离为，则，解得. 故选：C. 2．C 设圆心坐标为，依题意可得，化简整理即可得解. 设圆心坐标为，依题意可得，化简得， 即圆的圆心的轨迹方程为. 故选：C 3．B 根据抛物线定义确定，分析出圆的圆心和半径，点是圆上的一点，则有,即，由此将求的最小值问题转化为求最小值问题，得出当且仅当、、三点共线时，取得最小值即可. 由题意知是抛物线的焦点，抛物线准线方程为：，过点 作垂直于准线，垂足为,即点到抛物线线的准线的距离为：； 圆是圆心为，半径的圆，根据抛物线定义有： ，因为点是圆上的一点,所以, 即,由此有：， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值， 所以， 所以的最小值为6. 故选：B. 4．B 根据抛物线的定义可得，利用，从而得到，即可求解. 如图，过点P作于点N ... ...