1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 【学习目标】 1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义.(数学抽象) 2.能用正弦函数、余弦函数的定义进行计算.(数学运算) 【自主预习】 在初中，我们知道在Rt△ABC中，当∠C为直角时，我们把锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sin A；锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cos A，即sin A=，cos A=.当把锐角放在平面直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标.当所求角是任意角时，能否通过单位圆及函数定义的形式引出正弦函数的定义呢 这就是本节要研究的内容. 阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 1.单位圆有什么特征 2.已知角α终边上一点与单位圆的交点为P(x，y)，你能写出角α的正弦、余弦的比值吗 3.设角α终边上有除原点外的一点Q(x，y)，且r=|OQ|=，此时角α的正弦函数值、余弦函数值是什么 1.已知P(1，-2)为角α的终边上一点，则sin α+cos α=(　　). A.-1 B. C.- D.- 2.已知Pcos，1是角α终边上一点，则sin α=(　　). A. B. C. D. 3.已知角α的终边过点P(-3，8m)，且sin α=-，则m的值为(　　). A.- B. C.- D. 4.(改编)若角α的终边与单位圆交于点，m，求的值. 【合作探究】 　锐角的正弦函数、余弦函数的定义 　　在如图所示的平面直角坐标系中，使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于点M，设P(x，y)，|OP|=r. 问题1：你能说出角α的正弦、余弦值是多少吗 问题2：对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变呢 问题3：在问题1中，当|OP|=1时，sin α，cos α的值怎样表示 正、余弦函数的定义：如图所示，在平面直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于锐角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，点P的纵坐标v是该角的正弦函数值，记作v=sin α；点P的横坐标u是该角的余弦函数值，记作u=cos α. 已知锐角α的终边过点P，. (1)求sin α，cos α的值； (2)求2sin αcos α+cos2α的值； (3)求以角α为圆心角，半径为6 cm的扇形的弧长. 【方法总结】　　求锐角的三角函数值的方法：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦值. 在直角坐标系的单位圆中，已知α=. (1)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (2)求出角α的正弦、余弦值. 　任意角的正弦函数、余弦函数 若角α是钝角，终边落在第二象限，使角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于点M，设P(x，y)，|OP|=r. 问题1：此时角α的正弦、余弦分别等于什么 问题2：在问题1中，当|OP|=1时，sin α，cos α的值与角α是锐角时表示的一样吗 正弦函数和余弦函数的定义 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α=，cos α=.其中r=. 已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ=x，求sin θ. 【方法总结】求任意角的三角函数值的方法：第一步，取点，在角α的终边上任取一点P(x，y)(点P与原点O不重合)；第二步，计算r，r=|OP|=(r>0)；第三步，求值，由sin α=，cos α=求值. 已知角α的终边过点P(-3a，4a)(a≠0)，求2sin α+cos α的值. 　单位圆在三角函数中的应用 在直角坐标系的单位圆中，已知α=. (1)画出角α； (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值. 【方法总结】(1)先将角α表示为α=β+2kπ(-π<β≤π，k∈Z)的形式，则角β的终边即为角α的终边，|k|为x轴的非负半轴逆(k>0)或顺(k<0)时针旋转的周数. (2)求角α与单位圆的交点坐标，应利用角α的特殊性转化为直角三角形的边角关系求解，进而得角α的正 ... ...