2.4.2 平面向量及运算的坐标表示 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.4.2 平面向量及运算的坐标表示 【学习目标】 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(数学抽象) 2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则.(数学运算) 3.理解向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(直观想象) 4.借助向量坐标的加、减线性运算，培养学生的数学运算等素养. 【自主预习】 　　飞机在起飞时，若沿仰角α的方向起飞的速度为v，则v可分解为沿水平方向的速度vcos α和沿竖直方向的速度vsin α. 阅读教材，回答下列问题. 1.平面内任一向量能否用两个互相垂直的向量表示 2.如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以{i，j}为基，则向量a如何表示 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量的坐标是(0，0). (　　) (2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. (　　) (3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. (　　) (4)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化. (　　) 2.已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，则b-a=(　　). A.(-2，1) B.(2，-1) C.(2，0) D.(4，3) 3.已知向量=(3，-2)，=(-5，-1)，则向量的坐标是(　　). A.-4， B.4，- C.(-8，1) D.(8，1) 4.已知向量a=(2x-1，x2+3x-3)与相等，若A(1，3)，B(2，4)，则x=　　　　. 【合作探究】 　平面向量的坐标表示 卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了便于分析，需要将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度. 问题1：如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度 问题2：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(它的坐标)表示，那么如何表示坐标平面内的一个向量呢 1.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向 的两个 向量i，j作为 .对于坐标平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知， 一对实数x，y，使得a=xi+yj.我们把实数对 叫作向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，记作a=(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标，a=(x，y)叫作向量a的坐标表示. 2.向量坐标与点的坐标之间的联系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作=a，设=xi+yj，则向量的坐标(x，y)就是 的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标. 特别提醒：(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直. (2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a=b x1=x2且y1=y2，其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2). (3)向量的坐标只与向量的起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关. (4)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变. 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA=4，AB=3，∠AOx=45°，∠OAB=105°，=a，=b，四边形OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标； (2)求点B的坐标. 【方法总结】求点、向量坐标的常用方法 (1)求点的坐标：可利用已知条件，求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标. (2)求向量的坐标：先求出这个向量的起点、终点坐标，再用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标. 如图，在平面直角坐标系xOy中，||=2||=2，∠OAB=，求. 　平面向量运算的坐标表示 设i，j分别是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a=x1i+y1j，b=x2i+y2j. 问题1：根据向量的线性运算性质，分别用基{i，j}表示向量a+b，a-b. 问题2：向量加、减法的坐标运算，可以类比数的运算进行吗 　　设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ∈R，则有 加法 a+b=(x1+x2，y1+y2) 减法 a-b=(x1-x2，y1-y2) 数乘 λa=(λx1，λy1) 　　重要 ... ...