2.5.3 利用数量积计算长度与角度 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.5.3 利用数量积计算长度与角度 【学习目标】 1.进一步理解平面向量数量积的含义、几何意义.(数学抽象) 2.能运用数量积的运算性质和运算律计算长度、夹角等问题.(数学运算) 【课前检测】 1.已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m=(　　). A.2 B. C.0 D.- 2.已知a=(-1，)，|b|=2，b·(a-b)=-7，则a与b的夹角的大小是(　　). A. B. C. D. 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC=3，点M满足=2. (1)用，表示向量； (2)求||. 【题型探究】 　求向量的长度 如图，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.求证：AF=AE. 【方法总结】求向量的长度的两种基本策略：(1)字母表示向量的运算，利用|a|2=a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；(2)坐标表示向量的运算，若a=(x，y)，则a·a=a2=|a|2=x2+y2，于是有|a|=. 已知=(4，0)，=(2，2)，=(1-λ)+λ(λ2≠λ). (1)求·及在上的投影数量； (2)证明A，B，C三点共线，并求当=时，实数λ的值； (3)求||的最小值. 　求向量夹角 在四边形ABCD中，已知A(0，0)，B(4，0)，C(3，2)，D(1，2). (1)判断四边形ABCD的形状； (2)若=2，求向量与夹角的余弦值. 【变式设问】将本例(2)改为“若=λ，且向量与的夹角为钝角，求λ的取值范围”. 【方法总结】用数量积求解向量夹角的一般步骤：(1)利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；(2)求出两向量的模；(3)由公式cos θ=，计算cos θ的值；(4)在[0，π]内，由cos θ的值确定角θ. 已知a=(1，2)，b=(-2，-4)，|c|=. (1)求|a+2b|； (2)若(a+b)·c=，求向量a与c的夹角. 　向量的综合应用 在平面直角坐标系xOy中，已知向量=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3)，且∥. (1)若已知M(1，1)，N(y+1，2)，y∈[0，2]，求·的范围； (2)若⊥，求四边形ABCD的面积. 【方法总结】用向量解决平面几何问题的步骤：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系. 已知函数f(x)为二次函数，O(0，0)，A(-2，1)，B(2，1)分别为函数f(x)图象上的三点，M为f(x)图象上的任意一点. (1)求·的最小值； (2)若PQ是以AB为直径的圆的一条直径，求·的取值范围. 【强化训练】 1.已知向量a=(1，n)，b=(-1，n)，若2a-b与b垂直，则|a|等于(　　). A.1 B. C.2 D.4 2.已知a=(3，-1)，b=(1，-2)，则a与b的夹角的大小为　　　　. 3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，O是原点，已知点A(16，12)，B(-5，15). (1)求||，||； (2)求∠OAB. 参考答案 课时4　利用数量积计算长度与角度 课前检测·查基础 1.B　【解析】因为a·b=(1，)·(3，m)=3+m， 又a·b=××cos， 所以3+m=××cos，所以m=. 2.D　【解析】由b·(a-b)=-7得a·b-b2=-7，即有a·b=-7+b2=-3，而a=(-1，)，则|a|==， 于是cos===-，又0≤≤π，解得=， 所以a与b的夹角的大小是.故选D. 3.【解析】(法一)(1)=+=+=+-=+. (2)||2=+2=+·+=||2+0+||2=×32+×32=5， ∴||=. (法二)如图，建立平面直角坐标系， 由题意知，A(3，0)，B(0，3). 设M(x，y)，由=2，得(x，y-3)=2(3-x，-y)， ∴∴ ∴M(2，1). (1)设=λ1+λ2，可求出λ1=，λ2=， ∴=+. (2)∵=(2，1)，∴||==. 题型探究·悟思路 探究1 例1　【解析】如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(-1，1)，B(0，1). 设E(x，y)，则=(x，y-1)，=(1，-1). ∵∥，∴-x-1×(y-1)=0， ∴x+y-1=0. ∵||=||，∴x2+y2-2=0. 由得或(舍去)， ∴E，. 设F(x'，1)，则由=(x'，1)和=，共线，得x'-=0，解得x'=-2-，∴F(-2-，1)，∴=(-1-，0)，=，-， ∴||==1+=||， ... ...