6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【学习目标】 1.通过实例,能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.(数学抽象) 2.正确理解“完成一件事情”的含义,能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.(数学抽象) 3.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题.(数学运算) 【自主预习】 1.计数问题是我们从小就经常遇到的,通过列举一个一个的数是计数的基本方法,但当问题中涉及的数很多时,列举这一方法的效率不高,能否设计巧妙的“计数法”来提高效率呢 是什么计数法 2.使用分类加法计数原理的关键是什么 有什么要求 3.使用分步乘法计数原理的关键是什么 有什么要求 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中,两类办法中的某两种方法可以相同. ( ) (2)在分类加法计数原理中,任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事. ( ) (3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的. ( ) (4)在分步乘法计数原理中,如果事情是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成. ( ) 2.从甲地到乙地,一天中有5趟火车,12趟客车,3趟飞机航班,还有6趟轮船,某人某天要从甲地到乙地,则共有不同走法的种数是( ). A.26 B.60 C.18 D.1 080 3.(原创)某公司安排员工进行教辅调研,从南昌到石家庄调研有3种走法,从石家庄到济南有2种走法,若从南昌到达济南必须经过石家庄,则从南昌到济南的不同的走法种数为( ). A.5 B.6 C.8 D.12 4.多项式(a1+a2+a3)(b1+b2)+(a4+a5)(b3+b4)的展开式共有 项. 【合作探究】 分类加法计数原理 问题1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码 问题2:在1,2,3,4四个数字中任取两个及以上的数(不重复取)作和,则取出的这些数的不同的和有多少种 问题3:你能说说解决以上问题的步骤吗 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 2.分类加法计数原理的推广 完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 3.分类加法计数原理的推广中“完成一件事有n类不同的方案”是指完成这件事的所有方法可以分为n类,即任何一类中的任何一种方法都可以独立完成这件事,这n类不同方案中的方法互不相同,且完成这件事的任何一种方法都在某一类方案中. (1)算盘是中国古代的一项重要发明.现有一种算盘(如图1),共两档,自右向左分别表示个位和十位,档中横以梁,梁上一枚算珠拨下,记作数字5,梁下有五枚算珠,上拨一枚算珠记作数字1(例如图2中的算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的三枚算珠,可以表示多少个不同的整数 图1 图2 (2)从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取2个,其中一个作为底数,另一个作为真数,求可以得到不同对数值的数的个数. 【方法总结】分类计数原理的解题思路:(1)根据题目特点恰当选择分类标准;(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复;(3)分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏. 设椭圆+=1(a>0,b>0)的焦点在y轴上,其中a∈,b∈,求满足上述条件的椭圆的个数. 分步乘法计数原理 如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动. 问题1:小明从E处到F处的最短路径有多少条 问题2:小明到老年公寓可以选择的最短路径有多少条 1.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不 ... ...
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