6.3 二项式定理 课时1 二项式定理 【学习目标】 1.能用计数原理证明二项式定理.(逻辑推理) 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项.(数学抽象) 3.能解决与二项展开式有关的简单问题.(数学运算) 【自主预习】 1.你能写出(b+a)n的展开式吗 展开式中的字母a,b能交换位置吗 2.(1+2x)n的展开式是什么 其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么 3.在二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)(a+b)n的展开式共有n项. ( ) (2)(a+b)n与(b+a)n的展开式中,第r+1项相同. ( ) (3)arbn-r是(b+a)n的展开式的第r(r=0,1,2,…,n)项. ( ) (4)在(1±x)n的展开式中,各项的系数与其二项式系数均相等. ( ) 2.若(x+2)n的展开式共有11项,则n=( ). A.9 B.10 C.11 D.8 3.-6的展开式的第3项是 . 4.求x+6的展开式. 【合作探究】 二项式定理 问题1:在初中,我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程 问题2:在合并同类项之前,(a+b)2的展开式为aa+ab+ba+bb,每项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式,你能从组合的观点解释合并同类项后a2-kbk的系数特点吗 问题3:仿照上述过程,你认为(a+b)3,(a+b)4,(a+b)n的展开式分别是什么 二项式定理 公式(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N*)叫作二项式定理.简写成(a+b)n=an-kbk.等号右边的式子称为二项展开式,(a+b)n的展开式共有(n+1)项,其中(k=0,1,2,…,n)称为二项式系数. (1)求-4的展开式. (2)化简:(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n. 【方法总结】二项式定理的双向功能 (1)正用:将(a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对于较复杂的式子,可先化简,再用二项式定理展开. (2)逆用:将展开式合并成(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律. 1-2+4-8+16+…+(-2)n的值为( ). A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n 若(1+)4=a+b(a,b为有理数),则a+b= . 二项展开式的通项 问题1:在(a+b)n的展开式中,第k项是什么 问题2:在(a+b)n的展开式中,Tk+1=an-kbk是展开式的第几项 其二项式系数是什么 问题3:(1+3x)n的展开式是什么 其第6项的二项式系数和第6项的系数各是什么 二项展开式的通项 (a+b)n展开式中的an-kbk叫作二项展开式的通项,它表示展开式的第k+1项,记作Tk+1=an-kbk. 一、二项展开式的通项的应用 (1)求2-6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; (2)求x-9的展开式中x3的系数. (改编)在-6的展开式中,含x-3项的系数为( ). A.240 B.160 C.-160 D.-240 若(2-x)n(n∈N*)的展开式中的常数项为32,则n=( ). A.5 B.6 C.7 D.8 二、求两个多项式积的特定项 (1)(-2x+3)x-25的展开式中x3的系数为( ). A.270 B.-270 C.765 D.-765 (2)若(x2-a)x-10的展开式中x6的系数为30,则a= . 【方法总结】求多项式积的特定项的方法———双通法 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a+bx)n(s+tx)m的展开式中的一般项为Tk+1·Tr+1=an-k(bx)k·sm-r(tx)r,再依据题目中对指数的特殊要求,确定r与k所满足的条件,进而求出r,k的取值情况. 已知(ax+1)(2x-1)7的展开式中x3的系数为448,则展开式中x2的系数为 . 有理项问题 问题1:什么是展开式中的有理项 问题2:什么是展开式中的整数项 与有理项相同吗 1.求展开式中的有理项的方法,一般是先写出通项,再找出其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据 ... ...
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