7.1 条件概率与全概率公式 课时2 全概率公式 【学习目标】 1.理解并掌握乘法公式与全概率公式.(数学抽象) 2.能运用乘法公式与全概率公式解决简单的概率问题.(数据分析、数学运算) 【自主预习】 1.P(AB),P(B),P(A|B)(其中P(B)>0)之间存在怎样的等量关系 2.全概率公式中,样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件是什么 3.P(B|A)与P(|A)存在怎样的等量关系 4.若A1,A2,A3是互斥事件,则A1∪A2∪A3的对立事件与相同吗 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|).( ) (2)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(|A).( ) (3)P(A|B)==. ( ) 2.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)=( ). A. B. C. D. 3.已知事件A,B,且P(A)=,P(B|A)=,P(B|)=,则P(B)=( ). A. B. C. D. 4.袋中有10个黑球,5个白球.现掷一枚均匀的骰子,掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球,则掷出3点的概率为 . 【合作探究】 乘法公式 小明拿了一盒球,里面有6个红球、4个白球,同桌小阳不放回地抽取两次,每次任取一个球. 问题1:已知第一次取到白球,请问第二次取到红球的概率是多少 问题2:如何求第一次取到白球且第二次取到红球的概率 问题3:如何推导乘法公式 1.乘法公式 若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A),这就是说,根据事件A发生的概率,以及在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率,可以求出事件A与B同时发生的概率.一般地,这个结论称为概率的乘法公式. 2.乘法公式的拓展 假设Ai表示事件,i=1,2,3,且P(A1)>0,P(A1A2)>0,则P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2).其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率,而P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同时发生的概率. 某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,且在第一天的空气质量为优良的情况下,第二天的空气质量为优良的概率是0.8.求连续两天空气质量为优良的概率. 【方法总结】在不好直接求得P(AB)的情况下,先求出方便计算的P(A)和P(B|A),再求P(AB). 已知某品牌的玉手镯从1 m高的地方掉落时,第一次未碎掉的概率为0.7,且当第一次未碎掉时,第二次也未碎掉的概率为0.4.试求这款玉手镯从1 m高的地方掉落两次后仍未碎掉的概率. 全概率公式 小张从家到公司上班总共有三条路可以直达(如图),但是每条路每天拥堵的可能性不太一样,由于路的远近不同,选择每条路的概率如下: P(L1)=0.5,P(L2)=0.3,P(L3)=0.2, 上述三条路每天不拥堵的概率分别为P(C1)=0.2,P(C2)=0.4,P(C3)=0.7. 问题1:假设遇到拥堵会迟到,那么小张从家到公司不迟到的概率是多少 问题2:全概率公式的意义是什么 全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai),这称为全概率公式. 特别提醒:在样本空间Ω中,每种原因都可能导致B发生,故B发生的概率是各种原因引起B发生概率的总和.由此可以形象地把全概率公式看成由原因推结果,每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了因果之间的关系. 一、两个事件的全概率问题 某次社会实践活动中,甲、乙两班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3,且甲班中女生占,乙班中女生占.求该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 【方法总结】两个事件的全概率问题的求解策略 (1)拆分:将样本空间拆分成互斥的两部分,如A1,A2(或A与). (2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2). 某商店收购甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱.已知甲厂每箱装100个,废品率为0.06;乙厂每箱装120个,废品率为0.05. (1)任取一 ... ...
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