4.2　简单幂函数的图象和性质（课件 学案 练习，共3份） 北师大版（2019）必修 第一册

4.2　简单幂函数的图象和性质 ［学习目标］　1.了解幂函数的概念.2.掌握y=xα的图象与性质. 3.能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 一、幂函数的概念 问题　下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ （1）如果小红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p=ω元，这里p是ω的函数； （2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数； （3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c=，这里c是S的函数； （5）如果某人t s内骑车行驶了1 km，那么他骑车的平均速度v= km/s，即v=t-1，这里v是t的函数. 知识梳理 幂函数的概念 一般地，形如y=xα（α为常数）的函数，即底数是　　　　　　、指数是　　　　的函数称为幂函数. 例1　（1）（多选）下列函数，其中是幂函数的有 （　　） A.y=x3 B.y=4x2 C.y=（x-1）2 D.y=（x≥0） （2）已知y=（m2+2m-2）+2n-3是幂函数，求m，n的值. 反思感悟　判断函数为幂函数的方法 （1）幂的系数为1. （2）底数为自变量x. （3）指数为常数. 跟踪训练1　（1）已知幂函数f（x）=k·xα的图象过点，则k+α等于 （　　） A. B.1 C. D.2 （2）已知f（x）=ax2a+1-b+1是幂函数，则a+b等于 （　　） A.2 B.1 C. D.0 二、幂函数的图象 知识梳理 在同一平面直角坐标系内作出函数（1）y=x；（2）y=；（3）y=x2；（4）y=x-1；（5）y=x3的图象如图. 例2　（1）如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为 （　　） A.-2，-，，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，- （2）点（，3）与点分别在幂函数f（x），g（x）的图象上，问当x分别为何值时，有f（x）>g（x）；f（x）=g（x）；f（x）1时，图象类似于y=x3. ②根据幂函数的定义域及奇偶性确定在其他象限内的图象. （2）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为 ①在（0，1）上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）. ②在（1，+∞）上，指数越大，幂函数图象越远离x轴（简记为指大图高）. 跟踪训练2　若幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示，则 （　　） A.-11 D.n<-1，m>1 三、幂函数的性质及应用 知识梳理 五个幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 值域 奇偶性 单调性 增函数 在［0，+∞）上单调递　　　， 在（-∞，0］上单调递　 ____ 函数 ____ 函数 在（0，+∞）上单调递 　　， 在（-∞，0）上单调递 　 例3　（1）比较下列各组中两个数的大小. ①与； ②与； ③与. （2）已知幂函数y=x3m-9（m∈N+）的图象关于y轴对称且在（0，+∞）上单调递减，则m=　　　　. 反思感悟　（1）比较幂值大小的两种基本方法 （2）解决幂函数的综合问题时应注意 掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性. 跟踪训练3　（1）比较下列各组中两个数的大小： ①与； ②与； ③与. （2）已知函数f（x）=（m∈N+）.若该函数图象经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2-a）>f（a-1）的实数a的取值范围. 1.知识清单： （1）幂函数的定义. （2）几个常见幂函数的图象. （3）幂函数的性质. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区： （1）对幂函数形式的判断易出错，只有形如y=xα（α为常数）的函数为幂函数，其他形式都不是幂函数. （2）易忽略题目中给出 ... ...